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[数论] 请教一整数解问题

本帖最后由 wenshengli 于 2013-11-22 08:48 编辑

给定无理数a,b,证明方程\[|x+ay+\frac{1}{3}|+|ax-y+\frac{a}{3}|=b\]的整数解(x,y)只有一组.
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觉得更可能无解才对,比如给定$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3}$

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回复 2# realnumber
那就改成至多有一组整数解?

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回复 3# 其妙
请问改了以后如何解?谢谢!

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回复 4# wenshengli
题目来源?

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回复 1# wenshengli

反证法不错
不妨假设这方程有两组或更多整数解$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$
于是有
\[\abs{x_1+ay_1+\frac{1}{3}}+\abs{ax_1-y_1+\frac{a}{3}}=b\]
\[\abs{x_2+ay_2+\frac{1}{3}}+\abs{ax_2-y_2+\frac{a}{3}}=b\]
无论这些个绝对值怎么拆,都是个线性方程组,最后肯定得到$a,b$都是$x_1,x_2,y_1,y_2$的各种线性或乘除组合,怎么地都会是有理数,与原题矛盾

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回复 6# 战巡

非常感谢!

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