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出个题吧,大家帮我找找出处...

本帖最后由 战巡 于 2013-11-21 06:00 编辑

已知函数$f(x)$在$(0,1)$上连续,且满足:
对给定正整数$n$:
\[\int_0^1f(x)x^ndx=1\]
对任意自然数$k, k<n$:
\[\int_0^1f(x)x^kdx=0\]
求证:存在一点$\xi \in (0,1)$,使得
\[\abs{f(\xi)}\ge2^n(n+1)\]

出处貌似是(吉林工业大学)
\[\int\limits_0^1 {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^n}f\left( x \right){\text{d}}x}  < {2^n}\left( {n + 1} \right)\int\limits_0^1 {{{\left| {x - \frac{1}{2}} \right|}^n}{\text{d}}x} \]

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回复 1# 战巡


还是给解答吧...
考虑积分
\[\int_0^1f(x)(x-\frac{1}{2})^ndx\]
\[=\int_0^1f(x)[\sum_{i=0}^nC_n^ix^i(-\frac{1}{2})^{n-i}]dx=1\]
因此有
\[1=\int_0^1f(x)(x-\frac{1}{2})^ndx\le \int_0^1\abs{f(x)(x-\frac{1}{2})^n}dx\]
由于$\abs{f(x)}$和$\abs{(x-\frac{1}{2})^n}$在$(0,1)$上都连续,且$\abs{(x-\frac{1}{2})^n}$在$(0,1)$上不变号,根据积分第一中值定理推论得
存在$\xi \in (0,1)$使得
\[ \int_0^1\abs{f(x)(x-\frac{1}{2})^n}dx=\abs{f(\xi)}\int_0^1\abs{(x-\frac{1}{2})^n}dx=\abs{f(\xi)}\frac{1}{2^n(n+1)}\]
因此有
\[\abs{f(\xi)}\frac{1}{2^n(n+1)}\ge 1\]
\[\abs{f(\xi)}\ge 2^n(n+1)\]

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出处貌似是(吉林工业大学)
\[\int\limits_0^1 {{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^n}f\left( x \right ...
icesheep 发表于 2013-11-21 06:52


这个感觉很奇怪啊,右边那块就是1...

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这个感觉很奇怪啊,右边那块就是1...
战巡 发表于 2013-11-21 09:24


反证法,1<1 导出矛盾。

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北京大学生数学竞赛在很早以前也出过这个题目

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回复 1# 战巡
最早应该出自于1972年12月2日举行的“第33届普特南数学竞赛”
参考来源:
《美国大学生数学竞赛题解(下册)》
卢亭鹤 张永祺 邵存蓓  译
甘肃人民出版社

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这是谁家的洛阳铲

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