题目：Given that the real numbers $x$, $y$ and $z$ satisfies the condition $x+y+z=3$, find the maximum value of
\[f(x,y,z)=\sqrt{2x+13}+\sqrt[3]{3y+5}+\sqrt[4]{8z+12}.\]
首先说明一下这题对 $y$ 应该要有下界限制，否则，令 $x=t$, $y=-t$, $z=3$，当 $t>5/3$ 时，有
\[f(t,-t,3)=\sqrt{2t+13}-\sqrt[3]{3t-5}+\sqrt[4]{36}
>\sqrt t-2\sqrt[3]t
=\sqrt[3]t\bigl(\sqrt[6]t-2\bigr),\]
故显然有
\[\lim_{t\to+\infty}\sqrt[3]t\bigl(\sqrt[6]t-2\bigr)=+\infty
\riff\lim_{t\to+\infty}f(t,-t,3)=+\infty,\]
即无最大值。
那么我这里就加多一个条件：$y\geqslant -23$。
下面用切线法，记 $f_1(x)=\sqrt{2x+13}$, $f_2(x)=\sqrt[3]{3x+5}$, $f_3(x)=\sqrt[4]{8x+12}$，为了用切线法后切线方程关于 $x$ 的系数相同，应有
\[f_1'(x_1)=f_2'(x_2)=f_3'(x_3),\]
这里的 $x_i$ 分别是 $f_i(x)$ 的切线方程与 $f_i(x)$ 的切点，当然也需要
\[x_1+x_2+x_3=3,\]
联立以上两式，代入求导后的式子，即为以下方程组
\[\left\{\begin{aligned}
&\frac1{\sqrt{2x_1+13}}=\frac1{\sqrt[3]{(3x_2+5)^2}}=\frac2{\sqrt[4]{(8x_3+12)^3}},\\
&x_1+x_2+x_3=3,
\end{aligned}\right.\]
这个方程组用常规方法其实是不好解的，但是通过观察系数，目测，却能很容易看出其中一组解是
\[\left\{\begin{aligned}
x_1&=\frac32,\\
x_2&=1,\\
x_3&=\frac12,
\end{aligned}\right.\]
这样，我们计算 $f_i(x)$ 在上述 $x_i$ 处的切线方程后，可知接下来只要证明的是以下三式
\begin{align*}
\sqrt{2x+13}&\leqslant \frac{2x+29}8,\\
\sqrt[3]{3y+5}&\leqslant \frac{y+7}4,\\
\sqrt[4]{8z+12}&\leqslant \frac{2z+15}8,
\end{align*}
分别乘方作差后得
\begin{align*}
\left(\frac{2x+29}8\right)^2-(2x+13)&=\frac{(2x-3)^2}{64}\geqslant 0,\\
\left(\frac{y+7}4\right)^3-(3y+5)&=\frac{(y-1)^2(y+23)}{64}\geqslant 0,\\
\left(\frac{2z+15}8\right)^4-(8z+12)&=\frac{(2z-1)^2(4z^2+124z+1473)}{4096}\geqslant 0,
\end{align*}
故
\[f(x,y,z)\leqslant \frac{2x+29}8+\frac{y+7}4+\frac{2z+15}8=\frac{x+y+z+29}4=8,\]
当 $x=3/2$, $y=1$, $z=1/2$ 时取等。
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发表于 2013-8-8 17:19
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发表于 2013-8-8 17:36
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明显这条件我是根据切线法设置的 
，对，必然关系！