用代码打一遍过程:
首先容易证明:能被 $11$ 整除等价于奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 $11$ 整除。
故
\[11\mid\overline{abcdefg} \iff 11\mid(a+c+e+g-b-d-f).\]
现将 $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ 分割成一个四元子集 $\{a,c,e,g\}$ 及另一个三元子集 $\{b,d,f\}$,容易证明 $a+c+e+g-b-d-f$ 一定是偶数。
但是 $\abs{a+c+e+g-b-d-f}$ 最大为 $4+5+6+7-1-2-3=16$,故要 $11\mid(a+c+e+g-b-d-f)$ 只能 $a+c+e+g=b+d+f$,亦即 $a+c+e+g=b+d+f=14$。
于是容易列举出只有以下四种情况满足:
\begin{gather*}
\{2,3,4,5\}, \{1,6,7\};\\
\{1,2,4,7\}, \{3,5,6\};\\
\{1,2,5,6\}, \{3,4,7\};\\
\{1,3,4,6\}, \{2,5,7\},\\
\end{gather*}
每种情况对应 $4!\times3!$ 个数,所以最终结果为 $4!\times3!\times4=576$。 |