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[几何] 2013湖北文22,理21的变圆解法

本帖最后由 hongxian 于 2013-6-15 18:43 编辑

2013湖北文22,理21
感觉能变圆,有人能秒吗?
如图,已知椭圆$C_1$,$C_2$的中心在坐标原点$O$,长轴均为$MN$且在$x$轴上,短轴长分别为$2m$,$2n$($m>n$),过原点且不与$x$轴重合的直线$l$与$C_1$,$C_2$的四个交点按纵坐标从大到小依次为$A$、$B$、$C$、$D$,记$\lambda=\frac m n$,$\triangle BDM$和$\triangle ABN$的面积分别为$S_1$和$S_2$
(1)当直线$l$与$y$轴重合时,若$S_1=\lambda S_2$,求$\lambda$的值;
(2)当$\lambda$变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线$l$,使$S_1=\lambda S_2$?并说明理由
00.jpg
2013-6-15 18:36
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本帖最后由 hongxian 于 2013-6-15 19:03 编辑

回复 1# hongxian

自己来一个
如果存在不和坐标轴平行的直线
伸缩变换将小椭圆变为单位圆,大椭圆变为长轴在$y$轴上的椭圆,显然线段之间的比例关系没有变化,
则$\abs{OE}=\abs{OF}=\lambda$,$\abs{OM}=\abs{ON}=\abs{OC}=\abs{OB}=1$
又$\lambda=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\abs{BD}}{\abs{AB}}=\dfrac{\abs{OA}+\abs{OB}}{\abs{OA}-\abs{OB}}=\dfrac{\abs{OA}+1}{\abs{OA}-1}=1+\dfrac{2}{\abs{OA}-1}>1+\dfrac{2}{\lambda-1}$
$\Longrightarrow \lambda^2-2\lambda-1>0 \Longrightarrow \lambda>1+\sqrt{2}$或$\lambda<1-\sqrt{2}$
又$\lambda>1$,$\Longrightarrow \lambda>1+\sqrt{2}$
01.png

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回复 2# hongxian

图中的字母是不是标错了?
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 3# kuing

$M$,$N$和$E$,$F$反了,没有保存,只有再画一个!

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伸缩变换?现在的教材里面讲了?那一本?

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回复 5# 魔幻水果

显然没有……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 2# hongxian

话说……不做伸缩变换其实也可以这样做,只不过 $\abs{OA}/\abs{OB}$ 关于直线倾角的单调性大概要证明一下,而伸缩变换后则是显然,所以目前看来这是伸缩带来的唯一好处……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 7# kuing

伸缩的目的就是为了求$\dfrac{\abs{OA}}{\abs{OB}}$的取值范围,不伸缩我还不知道怎么说明

发现新论坛的两天特点:
(1)新论坛居然在手机上显示公式成功;
(2)新论坛需要登录才能看附件;

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回复 8# hongxian

第(2)点是忘了设置,现在应该可以了……
这个论坛后台可以设置的东西比5d6d那里更加全面……
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复  hongxian
第(2)点是忘了设置,现在应该可以了……
这个论坛后台可以设置的东西比5d6d那里更加全面 ...
kuing 发表于 2013-6-16 08:35


那就快来吧!

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