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[几何] 关于抛物线的几个常规问题(普高高三复习)--

本帖最后由 realnumber 于 2013-11-15 08:46 编辑

问题1:直线l与抛物线C:$y^2=8x$相切,切点为A(2,4),求直线l的方程.

方法一:设l的方程为$y-4=k(x-2)$(过A斜率不存在的直线显然不合要求),与抛物线方程联列,消去y得到,
$(kx+4-2k)^2=8x$,即$k^2x^2+(2k(4-2k)-8)x+(4-2k)^2=0$
判别式$Δ_1=(2k(4-2k)-8)^2-4k^2(4-2k)^2=64-32k(4-2k)=0$,得到k=1,....以下略.


方法二:设l的方程为$m(y-4)=x-2$(过A斜率0的直线显然不合要求),与抛物线方程联列,消去x得到,
$y^2=8(my-4m+2)$,即$y^2-8my+32m-16=0$
判别式$Δ_2=64m^2-4(32m-16)=0$,得到m=1,....以下略.

(悟性好,思维敏捷的学生不需要下面这步吧,而一般的学生不会主动去琢磨,以为都比较困难,没那个习惯,所以多化些时间,不止理解,即使于记忆也有好处)比较两个判别式为什么一个难算,难在哪里?(找原因,总要分析来源),那么次数高是怎么产生的?看来代换有小小的技巧,这就可以理解为什么浙江卷理科大多考椭圆为背景的解答题,文科则是抛物线.

方法三:$y^2=8x$,解得$y=2\sqrt{2x}$,(考虑到A在第一象限,去掉$y=-2\sqrt{2x}$)
$y'=\sqrt{\frac{2}{x}}$,当x=2时,$y'=1$,即切线斜率为1,....以下略.
为什么老师不直接讲最简单的第三个方法,而自找麻烦从复杂到简单,逐个分析?1.需要对比,积累经验.2.本题确实是3最简单,解决其它问题,1,2却是基本办法.
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写出抛物线关于切点对称的抛物线,两抛物线相减即得。

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问题2

本帖最后由 realnumber 于 2013-11-16 08:40 编辑

求直线l:y=x+1,被抛物线C:$4y=x^2$所截得的弦AB的长.

方法一:联列方程,消去y,$x^2-4x-4=0$,求出交点坐标$x_1=2+2\sqrt{2},x_2=2-2\sqrt{2}$,再利用两点的距离公式,...

方法二:设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,
那么${\abs{AB}}^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(x_1-x_2)^2+((x_1+1)-(x_2+1))^2=2((x_1+x_2)^2-4x_1x_2)$,
以下用韦达定理,...略.

方法二改进:如果看出y=x+1过焦点的同学,还可以这样,由抛物线定义,$\abs{AB}=(y_1+1)+(y_2+1)=x_1+x_2+4$,以下用略.

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回复 2# 爪机专用
恩,我怎么没想到,看来“抛砖引玉”有道理.

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问题3.1

本帖最后由 realnumber 于 2013-11-16 08:41 编辑

AB是抛物线$y^2=2px,p>0$过焦点的弦,连接AO,交准线于D,求证BD平行x轴.
QQ图片20131115090530aaa.jpg
2013-11-15 09:12

---昨天群里看到,坐标法不提了,用其它办法,那么应该指,用抛物线定义,平几的办法.

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本帖最后由 realnumber 于 2013-11-16 09:10 编辑

回复 5# realnumber
(也可以过B作准线垂线,垂足为M,再同一法说明D,M重合.同一法应该可以避开的,转换了下还是同一法,有没避开的可能? )
过A作准线垂线,垂足为E,
QQ图片20131115090530bbb.JPG
2013-11-15 09:28
---参考16,17楼,用同一法,避开同一法,暂时没想出来,我平几很差的~~.
准线与X轴交点为H.

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本帖最后由 战巡 于 2013-11-15 11:15 编辑

回复 1# realnumber


最简单的是这样
\[y^2=8x\]
\[2yy'=8\]
\[y'=1\]

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本帖最后由 isee 于 2013-11-15 11:34 编辑

回复 7# 战巡

我经常这么干,但是学生不懂这个,对数学有兴趣,丢一本微积分入门过去,根本又不需要讲。没兴趣的呢,听都想得听,就主楼的法3就满足了,计算不出错,就是万福了。


而2楼呢,又有一个难点,就是两二次曲线交点曲线系,这新课标上也没。
好多过两直线的交点的直线系都不能理解,别谈这些了。

不过,这样做,还真是受启发,因为不曾经这样求切线。

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本帖最后由 isee 于 2013-11-15 11:35 编辑

几何法,看通俗数学名著译丛书之一的 圆锥曲线的几何性质,蒋声 译。

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回复 8# isee

2#的方法还可以求中点弦,切线可以看作其退化。
椭圆神马的也行

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回复 7# 战巡

,圆,椭圆,双曲线都有类似结论,没给普高学生说.

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本帖最后由 战巡 于 2013-11-15 12:31 编辑
求直线l:y=x+1,被抛物线C:$4y=x^2$所截得的弦AB的长.

方法一:联列方程,消去y,$x^2-4x-4=0$,求出交点坐 ...
realnumber 发表于 2013-11-15 09:01


参数方程其实挺简单的...
\[y=1+\frac{t}{\sqrt{2}},x=\frac{t}{\sqrt{2}}\]
然后有
\[4+4\frac{t}{\sqrt{2}}=\frac{t^2}{2}\]
\[L=\abs{t_1-t_2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4·4·2}=8\]

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研究5楼~~

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问题3.2

本帖最后由 realnumber 于 2013-11-16 08:41 编辑

QQ图片20131115090530aaa.jpg
2013-11-15 12:50

AB为过抛物线$y^2=2px,p>0$焦点的弦,BD垂直准线于D,求证:A,O,D三点共线.

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回复 12# 战巡
教材已经被专家修改了,这部分内容放到考重点的那里去了

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AB为过抛物线$y^2=2px,p>0$焦点的弦,BD垂直准线于D,求证:A,O,D三点共线.
realnumber 发表于 2013-11-15 12:52


这个,其实可以视为纯几何问题.......
梯形$ABDC$,$EF∥AC∥BD$,且$BF=BD,AF=AC$
连$AD$,交$EF$于$O'$,下面就证明$O'$为$EF$中点(即与$O$重合)
\[\frac{EO'}{AC}=\frac{DE}{CE+DE}=\frac{BF}{AB}\]
\[EO'=\frac{AC·BF}{AB}\]
同理
\[FO'=\frac{BD·AF}{AB}\]
加上前面的条件就有$EO'=FO'$了

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本帖最后由 乌贼 于 2013-11-15 15:43 编辑

连接$AD$,过$A$作$AE\perp DG,C$为$EA,DF$的交点
$\angle FAE+\angle FBD=\angle AFE+\angle AEF+\angle BFD+\angle BDF=180\du\riff\angle AFE+\angle BFD=90\du\riff\angle AFE+\angle CFA=90\du\riff\angle AFC=\angle ACF\riff AC=AF=AE$又$FG//EC\riff AE$过$FG$中点$O$
211.png
2013-11-15 15:40
g]

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本帖最后由 乌贼 于 2013-11-15 16:01 编辑

回复 17# 乌贼
这样更简单$CE//DB\riff\angle ACF=\angle FDB=\angle BFD=\angle FCA\riff AC=AF=AE$
又$FG//EC\riff AE$过$FG$中点$O$。

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16楼检查过了,没问题,很简洁,17楼也没问题,最后一句输入符号有笔误,AD过FG

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本帖最后由 realnumber 于 2013-11-20 10:13 编辑

问题3.3
QQ图片20131115090530bbb.JPG
2013-11-16 08:46

过抛物线$y^2=4x$的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若$\abs{AF}=3$,则$\abs{BF}=$_______.
AE垂直准线于E.
方法一:由抛物线定义$\abs{AE}=\abs{AF}$,得出A点横坐标2,再不妨取$A(2,2\sqrt{2})$,得出直线AB方程,求出点B坐标,得出$\abs{BF}$.

方法二,由问题3.2的结论得出$\frac{\abs{FO}}{\abs{AE}}=\frac{\abs{FB}}{\abs{BA}}$,得出$\abs{BF}=\frac{3}{2}$.
方法三,利用极坐标下的圆锥曲线统一方程.见楼下连接的13题.

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