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$\operatorname{sinc}x$连乘积的积分

本帖最后由 hbghlyj 于 2022-3-16 21:49 编辑

$$\int_{0}^{\infty} \prod_{k=0}^{n} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{2 k+1}\right)=\frac12$$
  1. y=matlabFunction(sinc(x)*sinc(x/3)*sinc(x/5)*sinc(x/7));
  2. integral(y,0,inf)
复制代码
0.5000

回复 1# hbghlyj


一眼以为多个c,sinc,sin

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本帖最后由 战巡 于 2021-11-17 01:24 编辑

回复 1# hbghlyj

不妨试试证明这样一个结论:
对任意$a_1>a_2\ge a_3\ge ...\ge a_n>0$,都有
\[\int_0^{\infty}\prod_{k=1}^n\operatorname{sinc}(a_kx)dx=\frac{1}{2a_1}\]

数量多了不好证明,但至少不难证明这个:
对正数$a\ne b$,会有
\[\int_0^\infty\operatorname{sinc}(ax)\operatorname{sinc}(bx)dx=\frac{1}{2\max\{a,b\}}\]

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本帖最后由 hbghlyj 于 2022-3-16 22:08 编辑

假设$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$,我们有
$$ I(\alpha,\beta)= \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(\alpha x)\cos(\beta x)}{x}\,dx =\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin((\alpha+\beta)x)}{x}\,dx+\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin((\alpha-\beta)x)}{x}\,dx\right]=\frac{\pi}{4}\left[\text{sign}(\alpha-\beta)+\text{sign}(\alpha+\beta)\right]$$最后这步用的是$\int_0^{+∞}\operatorname{sinc}x\,dx=\fracπ2$

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本帖最后由 hbghlyj 于 2022-3-16 21:18 编辑

对于$a>b>0,$由分部积分法$-\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(a x)\sin(b x)}{x^2}\,dx=\left.\frac{\sin(ax)\sin(bx)}{x}\right|_0^{+∞}-bI(a,b)-aI(b,a)=-bI(a,b)-aI(b,a)$
故$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(a x)\sin(b x)}{x^2}\,dx=bI(a,b)+aI(b,a)=\frac{πb}2$
故$\int_0^{+\infty}\operatorname{sinc}(ax)\operatorname{sinc}(bx)dx=\fracπ{2a}$

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回复 1# hbghlyj
matlab上面的是normalised sinc,定义为$$\operatorname{sinc} t=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin \pi t}{\pi t} & t \neq 0 \\ 1 & t=0\end{array}\right.$$而4#,5#是unnormalized sinc,定义为$$\operatorname{sinc} t=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin t}{t} & t \neq 0 \\ 1 & t=0\end{array}\right.$$所以和1#,3#差个$π$,这样一说就清楚了

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${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}$
${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}$
${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}$

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${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}$
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