请问如何处理这种递推数列的极限

AzraeL

已知$ a_{n+1}=\sqrt{1+a_n},a_1=1 $,并且记$ l=\lim_{n\to\infty}a_n $,若存在常数$ c $使得$ t=\lim_{n\to\infty}c^n(l-a_n) $存在且不为$ 0 $,求$ c $与$ t $.

IkeJay

后面的那个还没思路，不过前面数列的极限的收敛证明和求极限大概就这样了。
写的可能不严谨谅解谅解。
字不好看谅解～～

AzraeL

注意到$ \lim_{n\to\infty}a_n=l=\sqrt{1+l} $,于是有
\[ l-a_{n+1}=l-\sqrt{1+l-(l-a_n)}=l-l\sqrt{1-\frac{l-a_n}{1+l}}=l-l[1-\frac{l-a_n}{2l^2}+o(l-a_n)]=\frac{l-a_n}{2l}+o(l-a_n) \]
所以有
\[ \frac{c^{n+1}(l-a_{n+1})}{c^n(l-a_n)}=\frac c{2l}+o(1) \]
要使数列$ \{c^n(l-a_n)\} $收敛且不收敛到$ 0 $,则$ c=2l $.
目前还没找到数列$ \{c^n(l-a_n)\} $的极限$ t $的求法,由于$ l=\frac{1+\sqrt5}2 $,利用mma计算了该数列的前$ 20 $项,似乎是递增有上界的.
此题来源于一张不知名的试卷,也不排除钓鱼题的可能性.

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2021-11-16 17:26