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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
高等数学讨论
» 如何计算 x²+y²+2z²≤a 和 0≤x≤y≤z 围成图形的体积?
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kuing
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发表于 2021-10-28 00:54
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一般方法不会,只好投个机,先计算:
`x^2+y^2+z^2\leqslant1` 且 `0\leqslant x\leqslant y\leqslant\frac1{\sqrt2}z` 的体积。
记:
平面 1:`x=0`;
平面 2:`y=x`;
平面 3:`z=\sqrt2y`;
显然:
平面 1、2 的夹角为 `45\du`;
平面 1、3 的夹角为 `90\du`;
平面 2、3 的夹角得算一算,平面 2 法向量 `\bm n_2=(-1,1,0)`,平面 3 法向量 `\bm n_3=(0,-\sqrt2,1)`,故夹角为
\[\arccos\frac{\abs{\bm n_2\cdot\bm n_3}}{\abs{\bm n_2}\cdot\abs{\bm n_3}}=\arccos\frac1{\sqrt3}.\]
于是,这三个平面在球 `x^2+y^2+z^2=1` 上截得的球面三角形面积为
\[S=\frac\pi4+\frac\pi2+\arccos\frac1{\sqrt3}-\pi=\arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4,\]而所求体积 `V` 满足 `V:V_{\text{球}}=S:S_{\text{球}}`,所以
\[V=\frac43\pi\cdot\frac{\arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4}{4\pi}=\frac13\left( \arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4 \right).\]
那么对于原题来讲,结论就是
\[V=\frac{a^{3/2}}{3\sqrt2}\left( \arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4 \right).\]
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发表于 2021-10-28 01:41
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利用 Mathematica 验证上述结果,取 a=4,有:
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(17.54 KB)
2021-10-28 01:43
code:
Integrate[Boole[x^2 + y^2 + 2 z^2 <= 4 && 0 <= x <= y <= z], {x, 0, 2}, {y, 0, 2}, {z, 0, 2}]
N[%]
a^(3/2)/(3 Sqrt[2]) (ArcCos[1/Sqrt[3]] - Pi/4) /. a -> 4 // N
复制代码
PS、MMA 并没继续化简 Pi - 6 ArcCot[Sqrt[2]] + ArcTan[2 Sqrt[2]],用 FullSimplify 也不行,但是
Pi - 6 ArcCot[Sqrt[2]] + ArcTan[2 Sqrt[2]] == 4 ArcCos[1/Sqrt[3]] - Pi // FullSimplify
复制代码
又能得出 True。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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发表于 2021-10-28 14:29
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APPSYZY
我用的旧版 MMA 还没有这两个命令……
用 Boole 就好了,用以下命令:
Integrate[Boole[x^2 + y^2 + 2 z^2 <= a && 0 <= x <= y <= z], {x, 0, Sqrt[a]}, {y, 0, Sqrt[a]}, {z, 0, Sqrt[a]}, Assumptions -> a > 0]
复制代码
运行结果是
$\displaystyle\frac{a^{3/2} \left(\pi -6 \text{ArcCot}\left[\sqrt{2}\right]+\text{ArcTan}\left[2 \sqrt{2}\right]\right)}{12 \sqrt{2}}$
然后再
FullSimplify[Pi - 6 ArcCot[Sqrt[2]] + ArcTan[2 Sqrt[2]] - 4 (ArcCos[1/Sqrt[3]] - Pi/4)]
复制代码
运行结果为 0,说明 $\displaystyle\pi -6 \text{ArcCot}\left[\sqrt{2}\right]+\text{ArcTan}\left[2 \sqrt{2}\right] = 4\left(\text{ArcCos}\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\right]-\frac{\pi }{4}\right)$,即验证通过。
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发表于 2021-11-2 09:09
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2#
kuing
啊,其实还可以继续化简,由
\[\tan(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}x\riff\tan\left( \arccos\frac1{\sqrt3} \right)=\sqrt2,\]得到
\[\tan\left( \arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4 \right)=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=3-2\sqrt2,\]所以最终表达式可以化简为
\[V=\frac{a^{3/2}}{3\sqrt2}\arctan\bigl( 3-2\sqrt2 \bigr).\]
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发表于 2021-11-2 09:25
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isee
我也是今天收到这个邀请,所以又看了下,忽然发现表达式还可以化简
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发表于 2021-11-2 09:35
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10#
isee
就本帖的求体积,你应该可以懂的。
首先我是将椭球拉伸为球,变成球面几何,求完后变回去即可。
约束条件就是三个平面围出来,三个平面都过球心,所以在球面上围出一个球面三角形,球面三角形的面积公式你知道吧?只需算三个角,也就是三个平面的夹角,这些其实都是基本东西。
PS、嗯,还有这个:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=8270
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kuing
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发表于 2021-11-19 18:01
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TSC999
那我就不知道了,软件内部怎么算的我也不了解……
我用的是 Mathematica7,改天用别的版本试试……
`\arctan\frac{4\sqrt2}7=\pi-2\arctan(2\sqrt2)`
将分子的 7Pi 改为 3Pi 就一样了……
如果不用 a 直接写 4,结果如何?
或者改用 NIntegrate 试试看?
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发表于 2021-11-23 00:27
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15#
TSC999
我用另一台装了 Mathematica 11.2 的电脑上又运行了 6# 的代码,结果是:
下载
(25.28 KB)
2021-11-23 00:27
又是另一个不同的形式
还好这次只是表面不同,实质是一样的,用
FullSimplify[(12 Pi - 50 ArcCot[Sqrt[2]] - ArcTan[(13870 Sqrt[2])/1633])/(96 Sqrt[2]) == (ArcCos[1/Sqrt[3]] - Pi/4)/(3 Sqrt[2])]
复制代码
输出 True。
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