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[不等式] 两个最值

已知$a,b,c$是非负实数,且$S=a+2b+3c,T=a+b^2+c^3$。
(1)求$T-S$的最小值;
(2)若$S=4$,求$T$的最大值。
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本帖最后由 lemondian 于 2021-10-15 14:24 编辑

修改一下:
问题(1):已知$a,b,c$是非负实数,$a+2b+3c=4.$求$a+b^2+c^3$的最值。

能不能推广一下呢?
问题(2):已知$a_k\geqslant 0(k=1,2,\cdots ,n),\sum_{k=1}^nka_k=m$.求$\sum_{k=1}^na_k^k$的最值。

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回复 9# kuing
101501.jpg
2021-10-15 16:40

我在网上看到的,但不会求

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回复 8# lemondian

问题(2)我是从这个题改的,不知能否推广(或在某些情况下推广)?
已知$a,b,c$是非负实数,$a+b^2+c^3=9.$求$a+2b+3c$的最值。

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回复 12# kuing
这个看不懂哩

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回复 12# kuing
101701.jpg
2021-10-17 23:54

终于来一个可以看得懂一些的了,
但好象还是有问题呀(图中红色部分处)
应该是$f(b,1)=1+(b-1)^2$
另外,当$c=1$时,由$a+2b+3c=4$,可得$a+2b=1$,此时$b\in[0,1/2]$,所以$f(b,1)$的最小值应该是$5/4$呀。
@kuing

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回复 16# lemondian

沉了。。。

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本帖最后由 lemondian 于 2021-11-3 08:59 编辑

回复 13# kuing
这个不对吧?
当$c\leqslant 2$时,则$3c\geqslant c^3$

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回复 11# lemondian
问题(3):已知$a_k\geqslant 0(k=1,2,\cdots ,n,2\leqslant n\leqslant 9) ,\sum_{k=1}^na_k^k=9$.求证:$6\leqslant \sum_{k=1}^nka_k\leqslant 9+\dfrac{n(n-1)}{2}$。

问题(4):已知$a_k\geqslant 0(k=1,2,\cdots ,n,) ,\sum_{k=1}^na_k^k=t,t\inN^*,且t\geqslant n$.求证:$\sum_{k=1}^nka_k\leqslant t+\dfrac{n(n-1)}{2}$。

问题(5):在问题(4)中,$\sum_{k=1}^nka_k$是否有最小值?

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