[函数] $h(x)=a\mathrm e^x+x^2-x-x\ln x<0$ 恒成立求实数$a$的范围

本帖最后由 isee 于 2021-9-16 08:50 编辑

题：$h(x)=a\mathrm e^x+x^2-x-x\ln x<0,x>0$恒成立，求实数 $a$ 的范围.

这个导数压轴题，应该是高三模拟卷上的，比较棘手.

由$h(1)=a\mathrm e<0$ 知 $a<0$ ，熟知 $\mathrm e^x\geqslant x+1$ ，于是
\begin{align*}
&a\mathrm e^x+x^2-x-x\ln x<0\\
&\iff \frac {-a\mathrm e^x}{x}+\ln x-x+1>0\\
&\iff \frac {\mathrm e^{\ln (-a)}\mathrm e^x}{\mathrm e^{\ln x}}+\ln x-x+1>0\\
&\iff \mathrm e^{x-\ln x+\ln (-a)}+\ln x-x+1>0\\
\iff \mathrm e^{\color{red}{x-\ln x+\ln (-a)}}+\ln x-x+1
&\geqslant {\color{red}{x-\ln x+\ln (-a)}}+1+(\ln x-x+1)\\
&=\ln (-a)+2>0\\
&\iff a<-\frac 1{\mathrm e^2}.
\end{align*}