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[几何] 一道只涉及圆的解析几何题

本帖最后由 郝酒 于 2021-9-16 08:55 编辑

已知$A,B$是圆$C:(x-2)^2+(y-2)^2=4$上两个不同的动点,延长$AB$至$D$,使得$\vv{AB}=\vv{BD}$,若$\vv{OD}^2+3\vv{OA}^2=48$,其中,$O$为坐标原点,则弦$AB$中点$M$的纵坐标取值范围是?
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双字母向量建议用 \vv 而非 \vec
不过,就这题来讲,写向量明显是多余的
捕获.PNG
2021-9-16 01:15

记 `AM=m`,则 `DM=3m`,由 *特**特 定理,有
\[OD^2\cdot m+OA^2\cdot3m-OM^2\cdot4m=4m\cdot m\cdot3m,\]约一个 `m` 并代入条件得
\[48-4OM^2=12m^2,\]故
\[12-OM^2=3m^2=3(R^2-CM^2)=12-3CM^2,\]所以
\[OM=\sqrt3CM,\]下略。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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本帖最后由 isee 于 2021-9-16 01:44 编辑

回复 2# kuing

晕了晕了,得到相同结果后,没画图,没注意点 $C$ 也是定点……想时真不能马虎啊~

*特**特=Stewart,英文倒是短

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回复 3# isee
哈哈我也想了半天才想到是阿氏圆

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如果不用“斯特瓦尔特定理”,这题就只能用向量知识来解,才方便。

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