[不等式] 求助一道n元最值

zht13140

已知$a_i\geqslant0(i=1,2,\cdots,n),\sum_{i=1}^na_i=1$，求$$\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{1+a_{i+1}^2}$$的最小值.(其中$a_{n+1}=a_1$)

kuing

感觉是个坑啊，光 n=3 就已经不简单了……

已知 `a`, `b`, `c\geqslant0`, `a+b+c=1`，记
\[f(a,b,c)=\frac a{1+b^2}+\frac b{1+c^2}+\frac c{1+a^2},\]求 `f(a,b,c)` 的最小值。

由轮换对称性，只需考虑 `a\geqslant b\geqslant c` 和 `a\leqslant b\leqslant c` 两种情况，而
\[f(a,b,c)-f(c,b,a)=\frac{(a-b)(a-c)(b-c)(1-ab-bc-ca)}{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)},\]显然 `ab+bc+ca<(a+b+c)^2=1`，可见当 `a\geqslant b\geqslant c` 时 `f(a,b,c)\geqslant f(c,b,a)`，所以只需考虑 `a\leqslant b\leqslant c` 的情况即可。

此时可以证明
\[f(a,b,c)\geqslant f\left( 0,b+\frac a2,c+\frac a2 \right),\]爆力方法就是令 `(a,b,c)=\bigl(\frac x{3x+2t+u},\frac{x+t}{3x+2t+u},\frac{x+t+u}{3x+2t+u}\bigr)`, `x`, `t`, `u\geqslant0`，代入（开挂）展开发现系数全正……

于是只需要求
\[g(c)=f(0,1-c,c)=\frac{c^3+1}{c^2+1}\]的最小值，求导有
\[g'(c)=\frac{c(c^3+3c-2)}{(c^2+1)^2},\]令 `c^3+3c-2=0` 解得
\[c=c_0=\sqrt[3]{\sqrt2+1}-\sqrt[3]{\sqrt2-1},\]将 `g(c)` 变形为
\[g(c)=\frac{c^3-2c+3}{3(c^2+1)}+\frac23c,\]所以
\[g(c_0)=\frac23c_0=\frac23\left(\sqrt[3]{\sqrt2+1}-\sqrt[3]{\sqrt2-1}\right),\] 这就是所求最小值。

n=3 就已经这样了，n>=4 会如何？
唯一有机会能往下做的，就是试图证明 n>=4 时取最小值时会有很多 0，即想办法变回三元……
感觉上这是有可能的，待续……

zht13140

猜测三元能取最小值，证明三元最小的时候，没什么好办法，特来请教

dahool

做不动，没人试试吗

Siyunshan

现在我卡在了这玩意的最大值上
$\displaystyle\prod{a_{i+1}^{2a_i}}$