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令$ 0<t=\frac{x_1}{x_2}<1 $,那么$ x_1=\frac{t\ln t}{t-1},x_2=\frac{\ln t}{t-1} $,于是$ (x_1+x_2)x_1x_2<2 $等价于\[ \forall0<t<1,\ln^3t>\frac{2(t-1)^3}{t(1+t)} \]
根据Karamata不等式$ \forall x>0,x\ne1,\frac{\ln x}{x-1}\leqslant\frac{1+\sqrt[3]x}{x+\sqrt[3]x} $,可知\[ \ln^3t-\frac{2(t-1)^3}{t(1+t)}>\frac{(t-1)^3(1+\sqrt[3]t)^3}{(t+\sqrt[3]t)^3}-\frac{2(t-1)^3}{t(1+t)}=\frac{(t-1)^3[(1+t)(1+\sqrt[3]t)^3-2(1+\sqrt[3]{t^2})^3}{(1+t)(t+\sqrt[3]t)^3}=\frac{(t-1)^4(1-\sqrt[3]t)^3}{(1+t)(t+\sqrt[3]t)^3}>0 \]
即证.
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