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[不等式] 第十八届东南地区高二竞赛不等式

设`a,b,c\geqslant 0`,`a^2+b^2+c^2\leqslant 1`,证明:\[\frac a{a^2+bc+1}+\frac b{b^2+ca+1}+\frac c{c^2+ab+1}+3abc<\sqrt 3.\]

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偶自然是不会的,只是记录下下~
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首先由右边没等号,也找不到能趋向它的点,再加上只是高二的,很可能是非常弱的不等式,于是大胆放缩。

直接放掉最后一项:
\[3abc\leqslant 3\left( {\frac {a^2+b^2+c^2}3} \right)^{3/2}\leqslant \frac {\sqrt 3}3,\]只需证更强式
\[\frac a{a^2+bc+1}+\frac b{b^2+ca+1}+\frac c{c^2+ab+1}<\frac 23\sqrt 3,\]看起来还是不好处理没所谓,强行把它们合并:
由对称性不妨设 `\min \{a^2+bc,b^2+ca,c^2+ab\}=a^2+bc`,则只需证
\[\frac {a+b+c}{a^2+bc+1}<\frac 23\sqrt 3,\]即
\[2(a^2+bc+1)>\sqrt 3(a+b+c),\quad(*)\]由条件及柯西、均值,得
\begin{align*}
\LHS&=2a^2+(b+c)^2-(b^2+c^2)+2\\
&\geqslant 2a^2+(b+c)^2-(1-a^2)+2\\
&=3a^2+(b+c)^2+1\\
&=\frac 34\left( {\frac 13+1} \right)[3a^2+(b+c)^2]+1\\
&\geqslant \frac 34(a+b+c)^2+1\\
&\geqslant 2\sqrt {\frac 34(a+b+c)^2}\\
&=\RHS,
\end{align*}再论证最后这一通放缩能不能取等,不难看出,三个“`\geqslant`”的取等分别为 `a^2+b^2+c^2=1`, `3a=b+c`, `a+b+c=2/\sqrt 3`,消 `a` 后可得 `bc=-1/12`,所以无正数解,因此取不了等,即得证。

PS、如果允许负数,则方程组解得
\[a=\frac{1}{2 \sqrt{3}},b=\frac{3 \sqrt{3}\pm\sqrt{39}}{12} ,c=\frac{3 \sqrt{3}\mp\sqrt{39}}{12},\]那么这时式 (*) 就能取等。

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回复 2# kuing


   厉害厉害,学习了

(证明能明白,自己是想不到了)

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设`a,b,c\geqslant 0`,`a^2+b^2+c^2\leqslant 1`,证明:\[\frac a{a^2+bc+1}+\frac b{b^2+ca+1}+\frac c{ ...
isee 发表于 2021-8-1 15:07

某网友说,不等式左边的$3abc$中的数字$3$,可以改为$\dfrac{18}5$,但不可以改为数字$4$。

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