本帖最后由 isee 于 2022-4-12 14:50 编辑
又见 知乎提问
果然是要还的
大体方向是放缩.
首先知 $a_1=1,$ $a_n>0$ 则 $\frac {a_{n+1}}{a_n}=\frac {1}{1+\sqrt {a_n}}<\frac 11$ 即 $\color{blue}{a_n>a_{n+1}}$亦是说数列 $\{a_n\}$ 是严格单调递减的.
另一方面 $\frac 1{a_{n+1}}=\frac 1{a_n}+\frac 1{\sqrt {a_n}}<\left(\frac 1{\sqrt {a_n}}+\frac 12\right)^2$,
于是 $\frac 1{\sqrt {a_{n+1}}}<\frac 1{\sqrt {a_n}}+\frac 12$ 从而有
\begin{align*} \end{align*}$ $\begin{align*} \frac 1{\sqrt {a_{n}}}-\frac 1{\sqrt {a_{n-1}}}&<\frac 12\\[1em] \frac 1{\sqrt {a_{n-1}}}-\frac 1{\sqrt {a_{n-2}}}&<\frac 12\\[1em] \cdots \cdots&\cdots\\[1em] \frac 1{\sqrt {a_{3}}}-\frac 1{\sqrt {a_{2}}}&<\frac 12\\[1em] \frac 1{\sqrt {a_{2}}}-\frac 1{\sqrt {a_{1}}}&<\frac 12 \end{align*}
这 $n-1$ 个式子累加,得 $\color{blue}{\frac 1{\sqrt {a_{n}}}<\frac 1{\sqrt {a_{1}}}+\frac {n-1}2=\frac {n+1}2}.$
所以 $a_{n+1}=\frac {a_n}{1+\sqrt {a_n}}<\frac {a_n}{1+\frac 2{n+1}}$ 即 $\color{blue}{\frac {a_{n+1}}{a_n}<\frac {n+1}{n+3}}$ 从而有
\begin{align*} \color{blue}{a_n}&=\frac {a_{n}}{a_{n-1}}\cdot \frac {a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot \frac {a_{n-2}}{a_{n-3}}\cdots\frac {a_2}{a_1}\cdot a_1 \\[1em] &<\frac {n}{n+2}\cdot \frac {n-1}{n+1}\cdot \frac {n-2}{n}\cdots \frac 24\cdot 1\\[1em] &=\frac {3\cdot 2}{(n+1)(n+2)}\\[1em] &=\color{blue}{6\left(\frac 1{n+1}-\frac 1{n+2}\right)}. \end{align*}
进一步,知
$S_{100}=6\left(\frac 12-\frac 1{102}\right)<3,$ 可知选 A.
以上解法繁琐但有启发性,下面推测
$$\color{red}{\frac {4}{(n+1)(n+2)}<a_n\leqslant \frac {6}{(n+1)(n+2)}}.$$
注意到函数 $f(x)=\frac x{1+\sqrt x},$ $f'(x)=\frac {1+\sqrt x-x\cdot \frac 1{2\sqrt x}}{(1+\sqrt x)^2}>0$ 即 $f(x)$ 单调递增.
用数学归纳法看看左边不等式,有
当 $n=1$ 时 $a_1=1>\frac 23=\frac 4{(1+1)(1+2)}$ 成立.
假设 $a_k> \frac {4}{(k+1)(k+2)}$ 成立,
则需证
\begin{align*} a_{k+1}=\frac {a_k}{1+\sqrt {a_k}}&>\frac {\frac {4}{(k+1)(k+2)}}{1+\sqrt {\frac {4}{(k+1)(k+2)}}}\\[1em] &> \frac {4}{(k+2)(k+3)}\\[1em] \Leftarrow 1+\frac 2{\sqrt{(k+1)(k+2)}}&<1+\frac {2}{k+1}\\[1em] \iff \sqrt{(k+1)(k+2)}&>k+1, \end{align*}
这显然成立.
于是
\begin{align*} S_{100}&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{100}\\[1em] &>\color{red}{1+\frac 12}+4\left(\frac 14-\frac 1{102}\right)\\[1em] &>\frac 52. \end{align*}
(细心的怕是已经发现算 $S_{100}<3$ 时,$\frac {6}{(n+1)(n+2)}$ 当 $n=1,2$ 时其值正好是 $a_1,{~}a_2,$ 即也是保留前两项放缩)
综上知 $\color{blue}{\frac 52<S_{100}<3}.$ |