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一道周期函数构造题

设 $f:\mathbb R\to[0,2)$ 为连续周期函数。同时记$a_n=\lfloor f(n)\rfloor$。试问对任意0-1数列$\{a_n\}$,都是否有相应的函数$f$存在?求构造或反例。
无钱佮歹看、无样佮歹生、无汉草佮无文采、无学历佮无能力、无高度无速度无力度共闲无代记。(闽南话)
口号:珍爱生命,远离内卷。

本帖最后由 zhcosin 于 2021-1-27 19:32 编辑

假定这函数周期为$T$,那么它必须满足一个条件,那就是由 $n=mT+r_n(m\inZ,0\leqslant r_n < T)$ 确定的序列 $\{r_n\}$ 没有重复项。这个不难,例如当 $T$ 是无理数的时候,这就成立了,若不然,假如有 $r_n=r_n'$,那么必然有 $n-n'=(m-m')T$,从而只能 $m=m'$ 进而 $n=n'$. 所以符合条件的 $T$ 是必然存在的。
如果题目中没有要求这函数 $f$ 连续,那么就到此为止了,现在诸 $r_n$ 皆位于 $[0,T)$ 区间内且互不相等,只要规定 $f(r_n)=f(n)=a_n$ 就万事大吉。可惜的是题目中还要求了 $f$ 的连续性,那么就还需要满足一个条件,即针对 $\{r_n\}$ 的任一收敛子列, $ f(r_n) $ 在该子列上也必须收敛且等于收敛点处的函数值。这可就不一定了,因为对于这个子列来说,对应的那些 $a_n$ 的子列并不一定收敛,因而也就不能保证对应的 $ f(r_n) $ 收敛了。
数学暗恋者,程序员,喜欢古典文学/历史,个人主页: https://zhcosin.coding.me/

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找到反例了。比如数列$\{0,1,1,\ldots,1,1,\ldots\}$,可以不失一般性地令$a_0=0$,$a_1=a_2=\cdots =1$。

证明:显然周期$T$是无理数。构造映射$\pi:\mathbb R\to [0,T),x\mapsto x-T\lfloor\dfrac{x}{T}\rfloor$,则
$$f(\mathbb N^*)=f\circ\pi(\mathbb N^*)\in[1,2)$$
再由$\pi(\mathbb N^*)$在$(0,T)$中稠密与$f$的连续性知:
$$f(0)\in f([0,T))=f(\overline{\pi(\mathbb N^*)})\subseteq\overline{f(\pi(\mathbb N^*))}=\overline{f(\mathbb N^*)}\subseteq[1,2]$$
矛盾。
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若将数列替换为$\{1,0,0,\ldots\}$,显然是能构造出$f$的(因为下取整函数是右连续而左间断的)。如构造$f:x\mapsto 1-x(\sqrt2-x)$,$x\in[0,\sqrt2)$,周期$T=\sqrt 2$。

现在的新问题是:如何判断对哪些数列能构造出$f$?

观察函数$f=0.9\sin(kx)+1$,当$k$取遍$\mathbb R/\mathbb Q$时生成的数列互不相同。由于$\mathbb R/\mathbb Q$不可数,故能够够造出的数列是不可数的。而无法构造出的数列也至少是可数的(不知是否不可数?)。

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找到反例了。比如数列$\{0,1,1,\ldots,1,1,\ldots\}$,可以不失一般性地令$a_0=0$,$a_1=a_2=\cdots =1$。
...
Czhang271828 发表于 2021-1-28 14:50


个人猜想是:数列无法构造的必要条件是在某项后有循环节(因而可数),反之可以用某种逼近的方式构造出周期$T$。

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