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[几何] 可以用仿射变换吗?

本帖最后由 依然饭特稀 于 2021-1-15 12:23 编辑

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2021-1-15 12:23
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感觉不太可行,事关仿射变换不保线段长度。

大概还是要暴算吧,首先反过来,椭圆不动让直线绕原点转,于是可设直线为 `x\cos t+y\sin t+6/5=0`,然后联立啥啥……

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由于原点到直线距离恒为 $\dfrac{6}{5}$,即求 $\triangle OAB$ 的面积最大值.
由于对任意割椭圆的直线 $AB$ 当 $OA,OB$ 两个方向共轭时 $\triangle OAB$ 时面积最大为 $\dfrac{1}{2}ab$,
这里来检验一下能不能取到:
当 $OA,OB$ 两个方向共轭时有 $OA^2+OB^2=a^2+b^2$,

①当椭圆焦点在 $x$ 轴上,即为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 时,直线过其右顶点,显然有 $OA^2+OB^2>5$;
②当椭圆焦点在 $y$ 轴上,即为 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$ 时,
本来想估一下的,但试了下估不出来,还是得算一下
联立方程得 $73x^2-36x-28=0$,
则 $x_1^2+x_2^2=\dfrac{36(x_1+x_2)+56}{73}=\dfrac{36^2+56\times73}{73^2}=\dfrac{5384}{5329}>1$,
所以此时 $OA^2+OB^2=8-3(x_1^2+x_2^2)<5$.

由①②知必然存在某个椭圆使 $OA^2+OB^2=5$,
此时 $S_{\triangle OAB}=1$,则 $|AB|$ 的最大值为 $\dfrac{5}{3}$.
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评分人数

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回复 3# mowxqq

有道理,乃思!!

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回复 3#
这个如何证明呢?
由于对任意割椭圆的直线$AB$,当$OA,OB$两个方向共轭时$△OAB$时面积最大为$1/2ab$.

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回复 5# lemondian

变成圆显然啊

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回复 6# kuing
用参数方程来证好象蛮容易的。
刚才想了一下,这里还有一个问题:
若任意直线$l$交椭圆于两点$A,B$,当$OA,OB$为椭圆的共轭半径时,$△OAB$时面积最大,为$\frac{1}{2}ab$,且$OA^2+OB^2=a^2+b^2$.

@kuing:反之,若任意直线$l$交椭圆于两点$A,B$,且$OA^2+OB^2=a^2+b^2$,能否说明:$OA,OB$为一定为椭圆的共轭半径?

3#的证明,是认为:$OA,OB$为一定为椭圆的共轭半径,故有$△OAB$时面积$\frac{1}{2}ab$。

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回复 7# lemondian

嗯,反之是不一定的,得限制一下:
长短轴把椭圆分成的四块,那 OA、OB 得在相邻的两块。
标准椭圆的话,就是斜率之积不能为正。
3# 加上这点细节说明就没问题了,那两个瞬间之间的旋转过程满足这一点。

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回复 8# kuing
看不明白你这个哩。

你在2#的做法有没有详解,也想学习一下直线旋转方面的东西

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椭圆中 $OA$、$OB$ 互为共轭半径,那么 $OA^2+OB^2=a^2+b^2$,$OA\cdot OA\cdot\sin\angle AOB=ab$。

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