[几何] 向外作等边三角形 中线相等 共点 夹角为$60^\circ$

ellipse

以$\triangle$ABC的三边向外作等边三角形，顶点为$A_1,B_1,C_1$，设$\triangle A_1B_1C_1$的三边中点为$A_2,B_2,C_2$，则$AA_2=BB_2=CC_2$，这三条直线共点，且夹角为$60^\circ$。以$\triangle A_1B_1C_1$的三边向外作等边三角形，顶点为$A_3,B_3,C_3$，设$\triangle A_3B_3C_3$的三边中点为$A_4,B_4,C_4$，则$\vv{C_1C_4}=\vv{CC_2}$。

应该是老题...但是搜索了一圈没搜到
复数做法已会.

kuing

复数法如何证明三线共点？

isee

回复 2# kuing

我没看题（看了也应该不会，主要没图），我猜应该类似于向量，所以，多半是证三个点的复数是一样的，于是共线。
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猜错了，随手找到了：https://zhuanlan.zhihu.com/p/158803422

kuing

回复 3# isee

那我帮你配个图好了。

前半部分，第一次作正三角形取中点，证线长相等且三线共点：

2021-1-7 23:04

后半部分，第二次作正三角形取中点，证向量相等：

2021-1-7 23:04