[几何] 求体积最大值实际是阿氏圆

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如图，在四棱锥$P-ABCD$中，$PA\bot $平面$ABCD$，底面$ABCD$是直角梯形，$A B \px C D$，$AB\bot AD$，$CD=AD=\sqrt{2}AB=2$，$PA=3$，若动点$Q$在$\vartriangle PAD$内及边上运动，使得$\angle CQD=\angle BQA$，则三棱锥$Q-ABC$的体积最大值为______.

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依题$\angle CQD=\angle BQA$可得$$Rt\triangle QDC\sim Rt\triangle QAB\Rightarrow \frac{DQ}{QA}=\frac{DC}{AB}=\sqrt 2,$$

即(在平面$PDA$内)点$Q$的到定点$D,A$距离之比为定值：亦点$P$的轨迹是阿波罗尼斯圆。

由平面几何知识可知，此阿氏圆的半径$$r=\frac{AD}{\sqrt 2-\frac 1{\sqrt 2}}=2\sqrt 2 \text{且圆心在} DA \text{延长线上},$$
进一步，知当点$Q$在$PA$上时，所求三棱锥的体积最大，此时$h_Q=QA=2$ ，即有三棱锥$Q−ABC$的体积最大值为$$\frac {2\sqrt 2}3.$$

敬畏数学

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一道旧题。

其妙

可以参考这篇文章末尾：

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... e5b20b31ccd32ef3#rd