[几何] 讨论组的多线段相等证垂直题

kuing

v6 15:16:04

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2020-11-29 22:47

求证明

我先来个三角法，纯平几靠你们了……

由 `PB=PE` 可知存在圆 `I` 与 `PB`, `PE` 分别切于 `B`, `E`，又因为 `FN=BF+NE`，可见 `FN` 也与该圆相切，且切点就是 `M`，如下图所示。

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2020-11-29 22:47

记 `\angle P=x`, `\angle I=y`，不妨设圆的半径为 `1`，则 `BF=\tan y`, `BP=\cot(x/2)`，因为 `\angle PBK=y`，故由正弦定理有
\[\frac{PK}{BP}=\frac{\sin y}{\sin(x+y)},\]于是
\[PK=BF\iff\frac{\sin y}{\sin(x+y)}\cot\frac x2=\tan y,\]去分母得
\[\cos\frac x2\cos y=\sin\frac x2\sin(x+y),\]积化和差得
\[\cos\left( \frac x2-y \right)=-\cos\left( \frac{3x}2+y \right),\]再和差化积得
\[\cos x\cos\left( \frac x2+y \right)=0,\]所以 `x=\pi/2` 或 `x/2+y=\pi/2`，而由图形可知后者不可能，所以只能 `x=\pi/2`，即得证。

乌贼

如图：

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2020-11-30 02:37

$ AF $和$ AN $分别是$ BM $和$ EM $的垂直平分线\[ \angle ABF=\angle AMF\\\angle AMN=\angle AEN\\\angle ABF=\angle AEN \]所以\[ \angle ABF=\angle AEN=90\du  \]得$ ABPE $四点共园。易证\[ \angle PAN=BEM=\angle BAF=\angle FAM \]又\[ \triangle CPF\cong \triangle DEK \]因此\[ \triangle BCF\cong \triangle PDK\riff\angle BCF=\angle PDK\riff AB=BP \]即$ ABPE $为正方形

isee

擦，这么麻烦，一眼望去

isee

回复 3# isee

直接算好了。平易近人。

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2020-11-30 10:47

如图标记线段长度，由等腰三角形$PBE$有$$x=y+n,$$

在三角形$PFN$中，将直线$BMK$看作是梅氏截线，由Menelaus（梅涅劳斯）定理，并化为整式，得$$mn=xy+ym=y^2+my+ny,$$

考察三角形$PFN$三边关系$$x^2+(m+y)^2=(y+n)^2+(m+y)^2=(2y^2+2my+2ny)+m^2+n^2=(m+n)^2,$$即$$PF^2+PN^2=FN^2,$$从而$\angle P$为直角.

色k

回复 4# isee

挺好的，一条辅助线也不用作

isee

回复 5# 色k

你怎么知道登录哪个帐号的？有么弄晕的时候，，

色k

回复 6# isee

爪机上登这个号，电脑上用主号