[几何] 平面向量几个问题

敬畏数学

几个问题：（1）$ a,b∈R，|a|+|b|=max({|a+b|,|a-b|}); $成立否？(2)$ a,b $为平面向量是否有同样的式子成立？（3）已知平面向量$| \vv{a}|=m ，|\vv{b}|=n$，则$|\vv{a}+\vv{b}|+|{\vv{a}-\vv{b}}|$的最大值及最小值？

力工

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(1)(2)都成立。
(3)$(\bm{a+b})^2+(\bm{a-b})^2=2(\bm{a}^2+\bm{b}^2)$.
则有$|\bm{a+b}|+|\bm{a-b}|\leqslant \sqrt{2(\bm{a+b})^2+(\bm{a-b})^2}=\sqrt{2(m^2+n^2)}$，得最大值；
又$|\bm{a+b}|+|\bm{a-b}|\geqslant max(|\bm{a+b}|,|\bm{a-b}|)=max(m,n)$.得最小值.

敬畏数学

回复 2# 力工
谢谢！（1）成立；（2）不成立，应该是a,b为平面向量，$ |\vv{a} |+|\vv{b}|≥max(|\vv{a}+\vv{b}|,|\vv{a}-\vv{b}|)$;(3)最大值正确，先用柯西不等式（权方和不等式），等号取得为向量a⊥向量b，再根据平行四边形的对角线平方和=四边形平方和即得；最小值$ |\vv{a}+\vv{b}|$+$ |\vv{a} -\vv{b}|$≥2$max(|\vv{a}|,|\vv{b}|)$，等号成立当向量a与向量b共线。

走走看看

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（2）成立。对于两个空间向量，也就相当于平面向量。