[不等式] 一个根式函数的最大值

力工

存疑：求教此题有最大值吗？
求$y=\sqrt{x+2^{-10}}+\sqrt[3]{x+2^{-7}}+\sqrt[6]{2^{-5}-2x}$的最大值。

kuing

这是典型的先蒙后凑的题啊……

要蒙自然是蒙取等，由于答案如无意外是简单的，所以应该找一些能让根号开出来的数，观察根号内的数，不妨试一些 2 的负数次幂，发现当 `x=2^{-7}` 时正好三个根号同时能开出来，还能不是它吗？于是直接凑均值如下：
\begin{align*}
\sqrt{x+2^{-10}}&=\frac{2^5}3\sqrt{(9\cdot2^{-10})(x+2^{-10})}\leqslant\frac{2^4}3(x+10\cdot2^{-10})=\frac{16}3x+\frac5{96},\\
\sqrt[3]{x+2^{-7}}&=2^4\cdot\sqrt[3]{2^{-6}\cdot2^{-6}\cdot(x+2^{-7})}\leqslant\frac{2^4}3(x+5\cdot2^{-7})=\frac{16}3x+\frac5{24},\\
\sqrt[6]{2^{-5}-2x}&=2^5\cdot\sqrt[6]{2^{-6}\cdot2^{-6}\cdot2^{-6}\cdot2^{-6}\cdot2^{-6}\cdot(2^{-5}-2x)}\leqslant\frac{2^5}6(7\cdot2^{-6}-2x)=\frac7{12}-\frac{32}3x,
\end{align*}相加得
\[\sqrt{x+2^{-10}}+\sqrt[3]{x+2^{-7}}+\sqrt[6]{2^{-5}-2x}\leqslant\frac5{96}+\frac5{24}+\frac7{12}=\frac{27}{32}.\]
这是不是很冇聊……

isee

回复 2# kuing

这个均值用得简单 米且 爆

力工

酷神真强，我以为出错了没得最大值。

kuing

这种套路题还看不穿的话，怎么教学生应试技巧啊……

TSC999

回复 2# kuing

x=2^-7 时有最大值，这个蒙对了。如果把第三个根式内的 2 的负五次方改成负四次方，如何蒙？（此时仍有最大值存在）——

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2020-10-25 23:00

kuing

回复 6# TSC999

这种题首先凭数学直觉就能预见对于一般的系数是解不了的（不是说最值不存在，只是方程复杂得没法解），随便改当然就蒙不出来了……

既然命题者敢这样出题，除非是故意坑人，否则数据就一定是凑过的，所以即管去蒙好了（不是提倡啥题都蒙，只是针对这种题……

TSC999

回复 7# kuing

同意你的观点，你说的很对。从这个题目就能看出中国应试教育的毛病，要多多掌握一些 “解题技巧” 才能应付考试和应付数学竞赛。所以考试成绩好或数学竞赛获奖，将来也许研究能力很差。
      改后的这个题目，直接用 mathematica 求最大值是算不出来的，也许算一年能出结果？ 我用画函数图像的办法求出改后题目当 x=0.0188909918 时有最大值 0.97957061626。当然都是近似值。

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2020-10-26 11:07

未改数据前的原题目用 mathematica 可以直接求出最大值，见下图片：

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2020-10-26 11:17