棱长为1的正n面体外接球上的动点到顶点距离的2k次方和为定值S(k)
n=4,S(1)=3,S(2)=3,S(3)不是定值
n=6,S(1)=12,S(2)=24,S(3)=54,S(4)不是定值
n=8,S(1)=6,S(2)=8,S(3)=12,S(4)不是定值
n=12,S(1)=$45+15\sqrt5$,S(2)=$210+90\sqrt5$,$S(3)=1215+540\sqrt5$,S(4)$= 7614 + 3402\sqrt5$,S(5)$=49815 + 22275\sqrt5$,S(6)不是定值
n=20,S(1)=$15+3\sqrt5$,S(2)=$30+10\sqrt5$,S(3)=$75+30\sqrt5$,S(4)=$210+90\sqrt5$,S(5)=$625+275\sqrt5$,S(6)不是定值
这些无理数都是拿ggb的三维视图得出10位近似小数然后用MMA的RootApproximant得到的或者用它减去$\sqrt5$的1到10000的整数倍取小数部分最接近0的一个,换句话说,就是凑出来的,只是数值上能符合......
如何证明呢?
先用坐标爆算一下,以n=12,f(4)为例,它的顶点是- {{1, 1, 1}, {1, 1, -1}, {1, -1,
- 1}, {1, -1, -1}, {-1, -1, -1}, {-1, -1, 1}, {-1, 1, -1}, {-1, 1,
- 1}, {0, 1/2 (-1 + Sqrt[5]), 1/2 (1 + Sqrt[5])}, {0,
- 1/2 (-1 + Sqrt[5]), 1/2 (1 + Sqrt[5])}, {0, 1/2 (1 - Sqrt[5]),
- 1/2 (1 + Sqrt[5])}, {0, 1/2 (1 - Sqrt[5]),
- 1/2 (-1 - Sqrt[5])}, {1/2 (-1 + Sqrt[5]), 1/2 (1 + Sqrt[5]),
- 0}, {1/2 (-1 + Sqrt[5]), 1/2 (1 + Sqrt[5]), 0}, {1/2 (1 - Sqrt[5]),
- 1/2 (1 + Sqrt[5]), 0}, {1/2 (1 - Sqrt[5]), 1/2 (-1 - Sqrt[5]),
- 0}, {1/2 (-1 + Sqrt[5]), 0, 1/2 (1 + Sqrt[5])}, {1/2 (-1 + Sqrt[5]),
- 0, 1/2 (1 + Sqrt[5])}, {1/2 (1 - Sqrt[5]), 0,
- 1/2 (1 + Sqrt[5])}, {1/2 (1 - Sqrt[5]), 0, 1/2 (-1 - Sqrt[5])}}
复制代码 它的棱长是$\sqrt5-1$.然后就不知道了..
发现对偶多面体的情况一样:n=6,8最大都到S(3),n=12,20最大都到S(5),而且n=12的S(2)等于n=20的S(4).
正多面体外接球上的动点需要两个参数,正四面体有4个顶点,所以用S(1)=3,S(2)=3就能把这四个距离之间的关系完全刻画了,但是其他正多面体则不然.
可以推广到高维空间吗? |