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[组合] 划分为奇数元/偶数元集合,选取元素总数一定的方案数

求证$\sum_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}2 i-1 \\i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2(n-i-1) \\n-i-1\end{array}\right)=2^{2n-3}\left(1-\frac{(2n-3)!!}{2^{n-1}(n-1)!}\right)$

QQ截图20200920001921.png
2020-9-20 00:20
呃……没看懂这个标题……和待证式又有何关联?

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回复 2# kuing
大概是这样:
把1到2n-3划分为两两不交的四个集合A,B,C,D,满足以下条件:
$\forall x\in A\cup B\forall y\in C\cup D:x<y$
|A|-|B|=1,|C|=|D|,|A|+|C|=n-1
这样可以帮助理解,总比记住一个抽象的表达式容易,但是,好像对解决问题没啥帮助吧

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回复 2# kuing
换一种形式:
整数$n>1,$求证$\sum_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}2 i-1 \\i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2(n-i-1) \\n-i-1\end{array}\right)=2^{2n-3}-\left(\begin{array}{c}2n-3 \\n-1\end{array}\right)$

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这个长得有点像,不知道有没有帮助?
35635455299.png
2020-9-21 18:08

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回复 5# 青青子衿
您这个是如何证明的\curious

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-10-19 11:31 编辑

回复 5# 青青子衿

https://artofproblemsolving.com/community/c6h40150p251668
推荐搜索工具(数据库包括aops,math.stackexchange)
比如这题

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-11-18 11:29 编辑

昨天做梦的时候恍惚想起这个题.....忽然对这个题的组合意义有点感觉了.....
QQ浏览器截图20201001140534.png
2020-11-18 11:00
QQ浏览器截图20201001140534.png
2020-11-18 11:29

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回复 8# hbghlyj
强!送上崇拜!真有梦中解题。

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改编一下:$\forall n\in \mathbb N,$
\[\sum _{i=0}^n \binom{4 i}{2 i} \binom{4 (n-i)}{2 (n-i)}=2^{4n-1}+2^{2n-1}\binom{2n}{n}\]

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-11-18 11:55 编辑

回复 10# hbghlyj
$\sum\limits_{i=0}^{\infty } \binom{2 i}{i} x^i=(1-4 x)^{-\frac12}$
取出它的偶数项之和:
$\sum\limits_{i=0}^{\infty } \binom{4 i}{2i} x^{2i}=\frac12\left((1-4 x)^{-\frac12}+(1+4 x)^{-\frac12}\right)=\frac{\sqrt{(1-16x^2)^{-1}+(1-16x^2)^{-\frac12}}}{\sqrt2}$
把$x^2$换成x就得到
$\sum\limits_{i=0}^{\infty } \binom{4 i}{2 i} x^i=\frac{\sqrt{(1-16x)^{-1}+(1-16x)^{-\frac12}}}{\sqrt2}$
平方,对比n次项即得证.

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