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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 划分为奇数元/偶数元集合,选取元素总数一定的方案数
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hbghlyj
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发表于 2020-9-19 22:01
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[组合]
划分为奇数元/偶数元集合,选取元素总数一定的方案数
求证$\sum_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}2 i-1 \\i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2(n-i-1) \\n-i-1\end{array}\right)=2^{2n-3}\left(1-\frac{(2n-3)!!}{2^{n-1}(n-1)!}\right)$
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kuing
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发表于 2020-9-20 00:18
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2020-9-20 00:20
呃……没看懂这个标题……和待证式又有何关联?
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hbghlyj
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发表于 2020-9-20 08:42
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kuing
大概是这样:
把1到2n-3划分为两两不交的四个集合A,B,C,D,满足以下条件:
$\forall x\in A\cup B\forall y\in C\cup D:x<y$
|A|-|B|=1,|C|=|D|,|A|+|C|=n-1
这样可以帮助理解,总比记住一个抽象的表达式容易,但是,好像对解决问题没啥帮助吧
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hbghlyj
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发表于 2020-9-20 08:50
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kuing
换一种形式:
整数$n>1,$求证$\sum_{i=1}^{n-1}\left(\begin{array}{c}2 i-1 \\i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2(n-i-1) \\n-i-1\end{array}\right)=2^{2n-3}-\left(\begin{array}{c}2n-3 \\n-1\end{array}\right)$
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青青子衿
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发表于 2020-9-21 18:08
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这个长得有点像,不知道有没有帮助?
2020-9-21 18:08
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hbghlyj
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发表于 2020-9-22 20:47
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青青子衿
您这个是如何证明的\curious
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发表于 2020-9-22 21:21
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-10-19 11:31 编辑
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5#
青青子衿
https://artofproblemsolving.com/community/c6h40150p251668
推荐搜索工具(数据库包括aops,math.stackexchange)
比如这题
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发表于 2020-11-17 22:36
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-11-18 11:29 编辑
昨天做梦的时候恍惚想起这个题.....忽然对这个题的组合意义有点感觉了.....
2020-11-18 11:00
2020-11-18 11:29
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力工
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发表于 2020-11-18 08:48
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hbghlyj
强!送上崇拜!真有梦中解题。
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hbghlyj
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发表于 2020-11-18 11:44
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改编一下:$\forall n\in \mathbb N,$
\[\sum _{i=0}^n \binom{4 i}{2 i} \binom{4 (n-i)}{2 (n-i)}=2^{4n-1}+2^{2n-1}\binom{2n}{n}\]
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hbghlyj
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发表于 2020-11-18 11:48
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-11-18 11:55 编辑
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hbghlyj
$\sum\limits_{i=0}^{\infty } \binom{2 i}{i} x^i=(1-4 x)^{-\frac12}$
取出它的偶数项之和:
$\sum\limits_{i=0}^{\infty } \binom{4 i}{2i} x^{2i}=\frac12\left((1-4 x)^{-\frac12}+(1+4 x)^{-\frac12}\right)=\frac{\sqrt{(1-16x^2)^{-1}+(1-16x^2)^{-\frac12}}}{\sqrt2}$
把$x^2$换成x就得到
$\sum\limits_{i=0}^{\infty } \binom{4 i}{2 i} x^i=\frac{\sqrt{(1-16x)^{-1}+(1-16x)^{-\frac12}}}{\sqrt2}$
平方,对比n次项即得证.
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