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[几何] 2020年全国高中数学联赛加试几何题:圆中等腰证垂直

题目:如图,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=BC$,$I$为内心,$M$为$BI$的中点,$P$为$AC$上一 点,满足$AP=3PC$,$PI$延长线上一点$H$满足$MH\perp PH$,$Q$为$\triangle ABC$的外接圆上劣弧$AB$的中点。
证明:$BH\perp QH$。
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本帖最后由 isee 于 2020-9-16 18:02 编辑

高中数学联赛的加试几何题我一般是啃不动的,不过,在人教群里第一时间被hbghlyj剧透了,以下过程只不过是按其方向补充完整而已。


依题,内心$I$,弧$AB$中点$Q$,及$C$是共线的。

如图所示$$\triangle MHI \sim PNI\Rightarrow \frac{MH}{MI}=\frac{PN}{PI},\angle HMI=\angle NPI,$$


c-t-p-a.png
2020-9-16 17:57




$P$为等腰三角形$ABC$底边靠近点$C$的四等分点,所以$$NP=PC,\text{又} MI=BM,$$

从而$$ \frac{MH}{BM}=\frac{PC}{PI},\angle HMB=\angle CPI\Rightarrow \triangle BHM \sim IPC,$$

所以$$\angle BHM=\angle IPC=\frac 12\angle A=\frac 12 \angle BQI,$$

另一方面$$\angle QIB=\angle ICB+\angle IBC=\angle QBA+\angle IBA=\angle QBI\Rightarrow QB=QI,$$

又$M$为$BI$中点,故$$\angle BHM=\frac 12 \angle BQI=\angle BQM,$$

从而点$Q,B,M,H$四点共圆,进一步有$$\angle QHB=\angle QMB=90^{\circ},$$证毕。

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本帖最后由 乌贼 于 2020-9-17 00:58 编辑

就是由
201.png
2020-9-17 00:52

$ \triangle ABC $中$ AB=AC  $,$ D $为$ BC $的中点,$ E $为$ AD $的中点,点$ F $在$ CE $上且$ DF\perp CE $。求证:$AF\perp BF $
转化而来
证明:\[ \triangle FED\sim \triangle DEC \riff\dfrac{FE}{DE}=\dfrac{DE}{CE}\riff\dfrac{FE}{AE}=\dfrac{AE}{CE}\riff\triangle FEA\sim \triangle AEC\riff\angle EAF=\angle ECA\riff\angle FDC=\angle DEF =\angle DAC+\angle ECA=\angle DAB+\angle EAF=\angle BAF \]即$ ABDF $四点共园,故\[ \angle AFB=\angle ADB=90\du  \]

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回复 3# 乌贼

哇!好久没见!!!

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202.png
2020-9-17 10:34

两黄三角形相似得两绿三角形相似有ABDF四点共园

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