本帖最后由 isee 于 2020-9-16 18:02 编辑
高中数学联赛的加试几何题我一般是啃不动的,不过,在人教群里第一时间被hbghlyj剧透了,以下过程只不过是按其方向补充完整而已。
依题,内心$I$,弧$AB$中点$Q$,及$C$是共线的。
如图所示$$\triangle MHI \sim PNI\Rightarrow \frac{MH}{MI}=\frac{PN}{PI},\angle HMI=\angle NPI,$$
$P$为等腰三角形$ABC$底边靠近点$C$的四等分点,所以$$NP=PC,\text{又} MI=BM,$$
从而$$ \frac{MH}{BM}=\frac{PC}{PI},\angle HMB=\angle CPI\Rightarrow \triangle BHM \sim IPC,$$
所以$$\angle BHM=\angle IPC=\frac 12\angle A=\frac 12 \angle BQI,$$
另一方面$$\angle QIB=\angle ICB+\angle IBC=\angle QBA+\angle IBA=\angle QBI\Rightarrow QB=QI,$$
又$M$为$BI$中点,故$$\angle BHM=\frac 12 \angle BQI=\angle BQM,$$
从而点$Q,B,M,H$四点共圆,进一步有$$\angle QHB=\angle QMB=90^{\circ},$$证毕。 |