本帖最后由 hbghlyj 于 2020-9-8 23:32 编辑
单位正方形ABCD的中心为O,过O作AB,BC的平行线与AB,BC形成一个正方形区域,点P在该区域内,求作正方形EFGH内接于ABCD,其中E,F分别在AB,BC上,使得线段EF经过点P.
首先证明一个引理
正方形EFGH内接于ABCD,则线段EF的包络是以O为焦点,过B作的BD垂线为准线的抛物线介于A,C之间的弧.
O在EF上的垂足是EF中点M,由EFOB共圆,且M为圆心得知,M在OB中垂线上,而OB中垂线是一条定直线,所以EF的包络是抛物线.(抛物线的焦点在切线上的垂足在其顶点处的切线上)
回到原题,设P到BC,AB的距离为a,b,则当且仅当$(a-b)^2- 2a - 2b \ge -1$时问题有解.取等时P在抛物线上,所以只有一解.取严格小于时有两解.
设BE=x, 则BF=1-x,$\dfrac ax+\dfrac b{1-x}=1\Rightarrow x^2+(b-a-1)x+a=0$
所以该问题是尺规可作的。
能否从几何性质得出简单的尺规作法呢？ |
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发表于 2020-9-8 23:27
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发表于 2020-9-8 23:58
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