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[几何] 切线、渐近线交点,求证共圆

1.gif
2020-9-4 19:54

A,B是双曲线的交点,作双曲线的一条切线交两条渐近线于D,E,求证ABDE共圆

QQ截图20200904212001.png
2020-9-4 21:38

如上图,`A`, `B` 处的切线交于 `P`,则熟知 `\angle PF_1A=\angle PF_1B` 且 `\angle PF_2A=\angle PF_2B`。

特别地,当 `P` 位于双曲线的渐近线上时,至少有一个切点为无穷远点。
QQ截图20200904213648 (2).png
2020-9-5 00:39

如上图,`F_1A_1` 和 `F_2A_2` 平行于 `P` 所在的渐近线,此时有 `\angle PF_1B=\angle PF_1A_1=\angle F_1PO` 且 `\angle PF_2B=\angle PF_2A_2=\angle F_2PO`,相加得 `\angle PF_1B+\angle PF_2B=\angle F_1PF_2`。

QQ截图20200904213742 (2).png
2020-9-5 00:39

回到原题,如上图,由上述结论,有
\begin{align*}
\angle PF_1B+\angle PF_2B&=\angle F_1PF_2,\\
\angle QF_1B+\angle QF_2B&=\angle F_1QF_2,
\end{align*}相加得
\[\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=\angle F_1PF_2+\angle F_1QF_2,\]而这四个角之和为 `360` 度,所以两边都为 `180` 度,即共圆。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 2# kuing

改了一下写法,图3可以少画些线……

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90502.jpg
2020-9-5 10:25

90504.jpg
2020-9-5 10:25

90505.jpg
2020-9-5 10:25

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回复 4# lemondian


    请补充一下结论1的过程。

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回复 5# isee
这是由两个结论导出的
(1)AP=PB
(2)以OA,OB建立仿射坐标系,则P的横纵坐标乘积为定值(反比例函数)

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回复 5# isee

才想起之前在 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5924 里讨论过……

所以有时没想起来也是件好事,要是马上想起这个链接丢上来,可能就不会想到上面 2# 的证法……

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回复 6# hbghlyj

(1)这是熟知的。
(2)相当于反比例函数?

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回复 7# kuing

你家ID近亲huing也是失踪人口了

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回复 9# isee


只好自我安慰地猜是因为这里越来越难访问了……

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回复 10# kuing

讲真,最近其妙和何版都跟我说访问不了这里,我相信应该还有一些“失踪人口”是因为这样的原因的,只是他们没联系我或者联系不到,又或者就以为论坛已经没掉了……

无可奈何,唉……

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