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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 切线、渐近线交点,求证共圆
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hbghlyj
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发表于 2020-9-4 19:57
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[几何]
切线、渐近线交点,求证共圆
2020-9-4 19:54
A,B是双曲线的交点,作双曲线的一条切线交两条渐近线于D,E,求证ABDE共圆
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kuing
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发表于 2020-9-4 21:49
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2020-9-4 21:38
如上图,`A`, `B` 处的切线交于 `P`,则熟知 `\angle PF_1A=\angle PF_1B` 且 `\angle PF_2A=\angle PF_2B`。
特别地,当 `P` 位于双曲线的渐近线上时,至少有一个切点为无穷远点。
2020-9-5 00:39
如上图,`F_1A_1` 和 `F_2A_2` 平行于 `P` 所在的渐近线,此时有 `\angle PF_1B=\angle PF_1A_1=\angle F_1PO` 且 `\angle PF_2B=\angle PF_2A_2=\angle F_2PO`,相加得 `\angle PF_1B+\angle PF_2B=\angle F_1PF_2`。
2020-9-5 00:39
回到原题,如上图,由上述结论,有
\begin{align*}
\angle PF_1B+\angle PF_2B&=\angle F_1PF_2,\\
\angle QF_1B+\angle QF_2B&=\angle F_1QF_2,
\end{align*}相加得
\[\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=\angle F_1PF_2+\angle F_1QF_2,\]而这四个角之和为 `360` 度,所以两边都为 `180` 度,即共圆。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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kuing
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发表于 2020-9-5 00:47
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kuing
改了一下写法,图3可以少画些线……
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lemondian
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发表于 2020-9-5 10:26
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isee
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发表于 2020-9-5 11:33
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lemondian
请补充一下结论1的过程。
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hbghlyj
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发表于 2020-9-5 12:31
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isee
这是由两个结论导出的
(1)AP=PB
(2)以OA,OB建立仿射坐标系,则P的横纵坐标乘积为定值(反比例函数)
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kuing
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发表于 2020-9-5 13:17
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isee
才想起之前在
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5924
里讨论过……
所以有时没想起来也是件好事,要是马上想起这个链接丢上来,可能就不会想到上面 2# 的证法……
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isee
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发表于 2020-9-5 14:01
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hbghlyj
(1)这是熟知的。
(2)相当于反比例函数?
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isee
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发表于 2020-9-5 14:05
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kuing
你家ID近亲huing也是失踪人口了
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kuing
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发表于 2020-9-5 14:11
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isee
只好自我安慰地猜是因为这里越来越难访问了……
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kuing
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发表于 2020-9-5 15:26
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kuing
讲真,最近其妙和何版都跟我说访问不了这里,我相信应该还有一些“失踪人口”是因为这样的原因的,只是他们没联系我或者联系不到,又或者就以为论坛已经没掉了……
无可奈何,唉……
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isee
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发表于 2020-9-5 17:54
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这个算不算类似,先有圆
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