本帖最后由 realnumber 于 2013-11-8 07:35 编辑
就当$C^{1234}_{2008}=7k+m$,k,m为整数,$0\le m\le 6$
定理:$n!$中含质数p的次数为[$\frac{n}{p}$]+[$\frac{n}{p^2}$]+[$\frac{n}{p^3}$]+.....
证明:$n!=1\times 2\times 3 \times ....\times n$含p的倍数有[$\frac{n}{p}$]个,含$p^2$的倍数有[$\frac{n}{p^2}$]个,.....见《数论导引》第16页.
所以[$\frac{2008}{7}$]+[$\frac{2008}{7^2}$]+[$\frac{2008}{7^3}$]=286+40+5=331
[$\frac{1234}{7}$]+[$\frac{1234}{7^2}$]+[$\frac{1234}{7^3}$]=176+25+3=204,
[$\frac{774}{7}$]+[$\frac{774}{7^2}$]+[$\frac{774}{7^3}$]=110+15+2=127,127+204=331
$6!=-1 \mod7$,
$2008=6 \mod7$ $2008!=(-1)^{287}=-1 \mod 7$
$1234=2 \mod7$ $1234!=(-1)^{176}\times 1 \times 2=2 \mod7$
$774=4 \mod7$ $774!=(-1)^{110}\times 1 \times 2 \times 3 \times 4=3 \mod7$
可见等式$2008!=1234! \times 774! \times (7k+m)$---------两边约去$7^{331}$后,考虑被7除的余数,即$-1=2\times 3 \times m \mod7$,得到$m=1$.----------此楼红色有问题,修正见12楼. |