请教魏尔斯特拉斯逼近定理的证明有一处不明白

abababa

Stone-Weierstrass Theorem.pdf (142.59 KB)

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2020-8-14 11:50

如题，附件里是下载的证明，但有一处不明白，就是
For $0 \le x \le 1$ define
\[P_n(x)=\int_{-1}^{1}g(x+t)Q_n(t)dt\]

$P_n(x)$ is a polynomial of degree $\le 2n$:
\[\int_{-1}^{1}g(x+t)t^kdt=\int_{x-1}^{x+1}g(u)(u-x)^kdu=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{k}{i}x^i\int_{x-1}^{x+1}g(u)u^{k-i}du\]

这里说$P_n(x)$是一个次数不超过$2n$的多项式，我不明白它为什么是多项式？求和里面虽然有$x^i$，但还要乘上积分的那项，而积分的那项积出来应该是一个$x$的函数，特别是根据后面的叙述，那个$g(u)$还是从$f(x)$得到的，这一项怎么保证是多项式呢？
把附件前几段的证明打在这里：
考察任意连续函数$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，并且满足$g(x)=0,x\not\in[0,1]$。对每个$n\ge 1$设
\[Q_n(x)=\frac{(1-x^2)^n}{\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx}\]
则$Q_n(x)$是钟形的，关于$x=0$对称的，并且在$[-1,1]$上积分为$1$。
接下来附件里的证明，就是我所问的问题。

abababa

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pdf里的证明还是没弄懂。我在这部分做了其它处理，先用$g(x)$的支撑性把积分区间变一下。
因为当$x<0$或$x>1$时$g(x)=0$，因此$x+t<0$即$t<-x$，或$x+t>1$即$t>1-x$时$g(x+t)=0$，于是
\[\int_{-1}^{1}g(x+t)t^kdt=\int_{-x}^{1-x}g(x+t)t^kdt=\int_{0}^{1}g(u)(u-x)^kdu\]
这样积分限变为实数，就能二项展开了，展开后得到的也正是一个多项式。