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[几何] 一个结论,求证明

一个平面内有$n$条光滑的曲线,曲线有$m$个交点,且无三线共点的情况,则这个平面被分成$n+m+1$个部分
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回复 1# TTAANN001


错的...

比如一个圆和一条直线,有两个交点,只能把平面分成4部分

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回复 2# 战巡
那如果光滑且不闭合呢?

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回复 3# TTAANN001

那两条线段呢?

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回复 4# kuing

开始的说法的确有问题,这是完善后的说法:一个平面内有$n$条光滑的,不闭合的且可以无限延伸的曲线,曲线有$m$个交点,且无三线共点的情况,证明:这个平面被分成$n+m+1$个部分

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回复 5# TTAANN001


还是错的...

考虑螺线即可,平面内只有一条螺线$\rho=a\theta$,此时$n=1,m=0$,这样一条线可以达到任意一个方向的无穷远处,自身不闭合,且光滑,但整个平面仍然是连通的,并没有被这条螺线分割成两部分

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回复 6# 战巡

但是这条螺线有端点,然后他还会要求这条曲线不能有端点……

于是再改成 `\rho=a^\theta`, `a>0`, `a\ne1`, `\theta\in\mathbb R`……

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