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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 一个结论,求证明
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发表于 2020-8-4 17:02
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[几何]
一个结论,求证明
一个平面内有$n$条光滑的曲线,曲线有$m$个交点,且无三线共点的情况,则这个平面被分成$n+m+1$个部分
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发表于 2020-8-4 20:12
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TTAANN001
错的...
比如一个圆和一条直线,有两个交点,只能把平面分成4部分
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发表于 2020-8-4 21:11
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战巡
那如果光滑且不闭合呢?
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kuing
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发表于 2020-8-4 21:13
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TTAANN001
那两条线段呢?
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发表于 2020-8-5 08:15
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4#
kuing
开始的说法的确有问题
,这是完善后的说法:一个平面内有$n$条光滑的,不闭合的且可以无限延伸的曲线,曲线有$m$个交点,且无三线共点的情况,证明:这个平面被分成$n+m+1$个部分
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战巡
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发表于 2020-8-5 13:53
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TTAANN001
还是错的...
考虑螺线即可,平面内只有一条螺线$\rho=a\theta$,此时$n=1,m=0$,这样一条线可以达到任意一个方向的无穷远处,自身不闭合,且光滑,但整个平面仍然是连通的,并没有被这条螺线分割成两部分
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kuing
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发表于 2020-8-5 14:15
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6#
战巡
但是这条螺线有端点,然后他还会要求这条曲线不能有端点……
于是再改成 `\rho=a^\theta`, `a>0`, `a\ne1`, `\theta\in\mathbb R`……
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