数列$\left\{a_n\right\}$前两项$a_1<a_2$,根据第一条性质,$\dfrac{a_2^2}{a_1}$也在这个数列中,这表明$a_1\neq 0$,记
\[\dfrac{a_2}{a_1}=q\]
所以这个数列的前两项是$a_1<a_1q$,反复应用第一条性质可知,这个数列包含下列项
\[\dfrac{(a_1q)^2}{a_1}=a_1q^2,\dfrac{(a_1q^2)^2}{a_1q}=a_1q^3,\cdots,a_1q^{n-1},\cdots\]
即这个数列包含了所有的$a_1q^{n-1}$,再根据$\left\{a_n\right\}$单调递增,可知必有
\[a_1<a_1q<\cdots<a_1q^{n-1}<a_1q^n<\cdots\]
下面再说明这个数列除了$a_1q^{n-1}$没有其他数,假设某些项不是$\left\{a_1q^{n-1}\right\}$中的项,记这些项中最小的那个为$a_n$,则必然存在$m\geqslant 3$使得
\[a_1q^{m-1}<a_m<a_1q^m\]
根据第二条性质,存在$k>l$,使得
\[a_n=\dfrac{a_k^2}{a_l}\]
考虑到前面$m-1\;(m\geqslant 3)$项是一个递增的等比数列,有两种可能:$a_1>0,q>1$或$a_1<0,0<q<1$,又数列$\left\{a_n\right\}$包含了无穷等比数列$\left\{a_1q^{n-1}\right\}$中的所有项,所以这个数列只有两种可能:$a_n>0,\left\{|a_n|\right\}$递增或者$a_n<0,\left\{|a_n|\right\}$递减,无论哪一种,都有
\[\dfrac{a_k^2}{a_l}>a_k\]
所以
\[a_n>a_k>a_l\]
这表明必然有
\[a_k=a_1q^{k-1},a_l=a_1q^{l-1}\]
则
\[a_n=a_1q^{2k-l}\]
这与假设矛盾,因此数列$\left\{a_n\right\}$中不存在$\left\{a_1q^{n-1}\right\}$以外的项 |