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[几何] 2020年北京卷第10题 $\pi $的近似值的表达式

2020年3月14日是全球首个国际圆周率日($\pi $ Day).历史上,求圆周率$\pi $的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数$n$充分大时,计算单位圆的内接正$6n$边形的周长和外切正$6n$边形(各边均与圆相切的正$6n$边形)的周长,将它们的算术平均数作为$2\pi $的近似值.按照阿尔·卡西的方法,$\pi $的近似值的表达式是(    )

A.$3n\left( \sin \frac{30^\circ}n+\tan \frac{30^\circ}n \right)$

B.$6n\left( \sin \frac{30^\circ}n+\tan \frac{30^\circ }n \right)$

C.$3n\left( \sin \frac{60^\circ }n+\tan \frac{60^\circ }n \right)$

D.$6n\left( \sin \frac{60^\circ}n+\tan \frac{60^\circ}n \right)$

2020年北京卷第10题


丢脸啊,偶就取n=1,算出个B,结果答案给的是A。
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令n无穷大利用极限知识就知道只有A啊

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回复 2# 色k

我打~~~~

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回复 3# isee
\begin{align*}
&\,\lim\limits_{n\to+\infty}3n\left( \sin\frac{\pi}{6n}+\tan \frac{\pi}{6n} \right)\\
=&\lim\limits_{n\to+\infty}3n\sin\frac{\pi}{6n}\left(1+\dfrac{\tan \frac{\pi}{6n}}{ \sin\frac{\pi}{6n}} \right)\\
=&\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\sin\frac{\pi}{6n}}{\frac{1}{3n}}\left(1+\dfrac{\tan \frac{\pi}{6n}}{ \sin\frac{\pi}{6n}} \right)\\
=&\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)}{\frac{1}{3}t}\left[1+\dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{6}t\right)}{ \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)} \right]\\
=&\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)}{\frac{2}{\pi}\frac{\pi}{6}t}\left[1+\dfrac{\tan\left(\frac{\pi}{6}t\right)}{ \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)} \right]=\dfrac{1}{\frac{2}{\pi}}\cdot2=\pi\\
\end{align*}

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\[\lim_{n\to\infty}3n\sin\frac\pi{6n}=\frac\pi2=\lim_{n\to\infty}3n\tan\frac\pi{6n}\implies\lim_{n\to\infty}3n\left( \sin\frac\pi{6n}+\tan\frac\pi{6n} \right)=\pi.\]

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一看着题目还以为考L'hospital呢

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