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[函数] 2020年新高考全国卷1第21题 含参导数恒成立

本题为 山东新高考全国卷1的和21题,同时也是海南新高考全国卷2的第22题。
这两卷的题目绝大部分是相同的——我现从ZXXK的信息是这样子的。


已知函数$f(x)=ae^{x-1}-\ln x+\ln a$.
(1)当$a=e$时,求曲线$y=f(x)$在点($1,f(1))$处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若$f(x)≥1$,求$a$的取值范围.
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本帖最后由 isee 于 2020-7-13 15:54 编辑

回复 1# isee

(1)$2/(e-2)$,过程略;

(2)用论坛里的方式放缩一下
\begin{align*}
ae^{x-1}-\ln x+\ln a&=e^{x-1+\ln a}-\ln x+\ln a\\
&\geqslant x-1+\ln a+1-\ln x+\ln a\\
&=x-\ln x+2\ln a\\
&\geqslant 1+2\ln a\geqslant 1\\
&\Rightarrow a\geqslant 1
\end{align*}


此楼的解法不完备,补充请看3#,5#,6#

更一般的情形(别的题中),请留意7#



注意,最后形成的解法,直接看9#

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回复 2# isee

这个撸法有问题,
第一个 ≥ 的取等条件是 x-1+lna=0,
第二个 ≥ 的取等条件是 x=1,
当 a≠1 时 f(x) 就取不到 1+2lna,即它并不是 f(x) 的最小值,
那你直接用它 ≥1 来解 a 得到的就不一定是充要的。

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回复 3# 色k


有道理,还得进一步讨论。

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回复 4# isee

充分性有,得补必要性,即证明当 a<1 时不符合,可能要玩取点……

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回复 5# 色k

这取点也太简单,就取 x=a 这样你那过程就救回来了

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本帖最后由 敬畏数学 于 2020-7-13 11:04 编辑

$ ae^{x-1}+lna\geqslant lnx+1,e^{lna+x-1}+lna\geqslant lnx+1, e^{lna+x-1}+lna+x-1\geqslant lnx+x=e^{lnx}+lnx$,考察函数$ g(x)=x+e^x $为R上增函数,则有,$ lna+x-1\geqslant lnx $,$ lna\geqslant lnx+1-x,lnx\leqslant x-1,lna\geqslant 0,所以a\geqslant 1 $.这样的套路题,被别人做了多少遍了!!!!

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本帖最后由 敬畏数学 于 2020-7-13 13:27 编辑

回复 2# isee
这个做法漏洞还是蛮大的。你这是要求他的最小值≥1?

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回复  色k

这取点也太简单,就取 x=a  这样你那过程就救回来了
色k 发表于 2020-7-12 23:35
既然想到了这个取点,那也就无需再用 2# 的方式了,可以这样写:

如果 `0<a<1`,则 `f(a)=ae^{a-1}<a<1`,不符合题意;

如果 `a\geqslant1`,则 `f(x)\geqslant e^{x-1}-\ln x\geqslant x-\ln x\geqslant1`,符合题意。

搞定

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本帖最后由 敬畏数学 于 2020-7-13 15:44 编辑

确实此题做麻烦了。x=1,知a>=1.显然a>=1成立。一行就就解决。这是考题吗?第一问提示套路多余。

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感叹就是刚开始思考与最后定型的解题过程,两者之间真有可能偏离很远~

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回复 11# isee


一年后再看此题,站在普通考生角度,发现直接求导讨论导数零点再判断原函数的单调性反而返璞归真。

太新的方法反而适其反,收效不佳。分段讨论,从局部着手有时会事半功倍。



补充一下7#的“同形异构”解法(只是好记一点点)
\begin{align*}
ae^{x-1}-\ln x+\ln a&\geqslant 1\\
\iff ae^{x-1}&\geqslant \ln x-\ln a+1=\ln {\frac {\mathrm ex}{a}}\\
\iff xe^{x}&\geqslant \frac {\mathrm ex}{a}\ln {\frac {\mathrm ex}{a}}\\
g(x)&=x\mathrm e^x,x>\frac a{\mathrm e}>0\\
g(x)&\geqslant g\left(\ln {\frac{\mathrm ex}{a}}\right)\\
\Rightarrow x&\geqslant \ln {\frac{\mathrm ex}{a}}\\
\iff x-\ln x & \geqslant 1\geqslant \ln {\frac{\mathrm e}{a}}\\
\cdots & \cdots
\end{align*}

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本帖最后由 isee 于 2021-9-20 00:34 编辑

回复 12# isee

注意,为了便于理解,`0<x\leqslant a/e`没有并入一起讨论~

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回复 12# isee
QQ截图20210920144431.png
2021-9-20 14:44

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在这个链接里的后面五分之一部分处的第21题可以看到有多种解答:
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... 4&lang=zh_CN#rd

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回复 12# isee

直接求导看导数零点对知识匮乏的高中生还挺麻烦的,少不了分类讨论之类的骚操作,搞不好还是会卡住

\[f'(x)=ae^{x-1}-\frac{1}{x}=0\]
这个会得到
\[x_0e^{x_0}=\frac{e}{a}\]
也就是$x_0=W(\frac{e}{a})$,$W()$为朗博$W$函数,这个函数性质是大部分高中生不理解的

问题是很多人忽略了朗博$W$函数的反函数要相对简单得多,这里可以反过来解出
\[a=\frac{1}{e^{x_0-1}x_0}\]
带回去得到
\[f(x_0)=1+\frac{1}{x_0}-x_0-2\ln(x_0)\ge 1\]
这玩意明显递减,而且一眼看出等号在$x_0=1$时成立,说明需要$x_0\le 1$,那么对应过来$a=\frac{1}{e^{x_0-1}x_0}$随$x_0$递减,就得有$a\ge 1$

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