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[几何] 求证轨迹是椭圆

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2020-7-10 14:25
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2020-7-10 14:27

圆A与圆C内切于点B,动圆圆O与圆A外切且与圆C内切,作圆O的一条固定方向的半径OD,求证:D点的轨迹是椭圆
又是很简单的样子....但自己不会证明.......也可能是×的....瑟瑟发抖
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圆 A 与圆 C 内含好像也可以

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QQ截图20200711000351.png
2020-7-11 00:03


设 `A(-c,0)`, `C(c,0)`, `c>0`,圆 `A` 和圆 `C` 的半径分别为 `r`, `R`, `R-r\geqslant2c`,易知 `PA+PC=R+r`,所以圆心 `P` 的轨迹方程为 `x^2/a^2+y^2/b^2=1`,其中 `a=(R+r)/2`, `b=\sqrt{a^2-c^2}`。

设 `P(a\cos\theta,b\sin\theta)`,由焦半径公式 `CP=a-c\cos\theta`,则圆 `P` 的半径 `r_P=R-CP=R-a+c\cos\theta`,设 $\vv{PD}$ 的固定方向向量为 `(\cos\alpha,\sin\alpha)`,则 `D` 的坐标就是
\[D\bigl( a\cos\theta+(R-a+c\cos\theta)\cos\alpha,b\sin\theta+(R-a+c\cos\theta)\sin\alpha\bigr),\]也就是说 `D` 的轨迹的参数方程为以下形式
\[\led
x&=C_1\cos\theta+C_2,\\
y&=C_3\sin\theta+C_4\cos\theta+C_5,
\endled\]其中 `C_i` 均为常数,由此可见轨迹是二次曲线,而由图形知为闭合曲线,所以要么是圆要么是椭圆。
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其实简单来说就是:
由于动点 `P` 的横纵坐标以及 $\vv{PD}$ 的 `x`, `y` 分量都是 `A\cos\theta+B\sin\theta+C` 的形式,所以 `P`, `D` 的轨迹都是二次曲线,而且不会是抛物线和双曲线。

楼主的命题之所以成立,完全就是因为动圆 `P` 的半径能写成 `A\cos\theta+C` 的形式……

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