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[几何] 圆与等轴双曲线

本帖最后由 ellipse 于 2021-6-1 04:14 编辑

圆与等轴双曲线交于A,B,C,D四点,A对以BC为直径的圆的极线为L
若L通过等轴双曲线的中心O,则L通过D;
若L不通过O,与直线OD交于E,则E在双曲线上。
等轴双曲线与圆.png
2020-7-9 13:12
等轴双曲线与圆.png
2020-7-9 13:04
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结论是正确的,我个人是第一次见……

我想从几何性质方面入手,撸不起来,然而改用代数方法发现居然是很容易,一点也不 Bao 力……

首先我将你的结论改一种表达方式:

圆与等轴双曲线交于 `A`, `B`, `C`, `D` 四点,点 `D` 关于双曲线中心 `O` 对称的点为 `D'`,点 `M` 为 `BC` 中点,则有 $\vv{MA}\cdot\vv{MD'}=MB^2$。

QQ截图20200710025442.png
2020-7-10 02:54


这个表达方式还可以吧?用向量式把另一个圆和极线隐藏起来,图瞬间清爽了,同时也便于代数证明

证明:不妨设等轴双曲线为 `y=1/x`,圆为 `(x-a)^2+(y-b)^2=r^2`,记 `A(x_1,y_1)`, `B(x_2,y_2)`, `C(x_3,y_3)`, `D(x_4,y_4)`,则 `x_1`, `x_2`, `x_3`, `x_4` 是 `(x-a)^2+(1/x-b)^2=r^2` 的四根,此方程去分母后为 `x^4+\cdots+1=0`,由韦达得 `x_1x_2x_3x_4=1`,因此 `x_4=y_1y_2y_3`, `y_4=x_1x_2x_3`,故 `D'` 的坐标为 `(-y_1y_2y_3,-x_1x_2x_3)`,由此得到
\begin{align*}
\vv{MA}\cdot\vv{MD'}={}&
\left( \frac{x_2+x_3}2-x_1 \right)\left( \frac{x_2+x_3}2+y_1y_2y_3 \right)\\
&+\left( \frac{y_2+y_3}2-y_1 \right)\left( \frac{y_2+y_3}2+x_1x_2x_3 \right),
\end{align*}由对称性只需展开前面就知道后面如何
\[\left( \frac{x_2+x_3}2-x_1 \right)\left( \frac{x_2+x_3}2+y_1y_2y_3 \right)=\left( \frac{x_2+x_3}2 \right)^2-y_2y_3-\frac12(x_1x_2+x_1x_3-y_1y_2-y_1y_3),\]那么另一项与之相加时后面那堆就会消掉,所以
\begin{align*}
\vv{MA}\cdot\vv{MD'}&=\left( \frac{x_2+x_3}2 \right)^2-y_2y_3+\left( \frac{y_2+y_3}2 \right)^2-x_2x_3\\
&=\left( \frac{x_2-x_3}2 \right)^2+\left( \frac{y_2-y_3}2 \right)^2\\
&=MB^2.
\end{align*}
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 2# kuing
还有一个非常简单的结论
点A,B对中心为O的等轴双曲线的极线分别为$l_A,l_B$,则
①$\angle AOB=\angle(l_B,l_A)$
②$\frac{OA}{OB}=\frac{d(A,l_B)}{d(B,l_A)}$
*记号d(P,l)表示点P到直线l的距离

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可能跟这贴没啥关系,也可能有关系,请看:
以等轴双曲线的平行弦为直径的圆共轴
QQ图片20201021215742.jpg
2020-10-21 21:59

这些圆的圆心在这组平行弦的共轭直径上
QQ图片20201021215749.png
2020-10-21 21:58

图中 MA²=MB²=MC·MD
说明 MO²-MA²=MO²-MC·MD=OC·OD为定值

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1.png
2021-6-1 04:03

5000 圆锥曲线专题

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本帖最后由 hbghlyj 于 2022-3-23 23:22 编辑
以等轴双曲线的平行弦为直径的圆共轴,这些圆的圆心在这组平行弦的共轭直径上
hbghlyj 发表于 2020-10-21 14:00

特别地,考虑Kiepert双曲线的垂直于欧拉线的这组弦,以它们为直径的圆都通过费马点$X_{13},X_{14}$.
Simple Proof of Gibert’s Generalization of the Lester Circle Theorem

3684 Kiepert双曲线专题

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