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[不等式] 两个比较大小问题

本帖最后由 lemondian 于 2020-7-8 18:04 编辑

两个比较大小问题:
(1)已知$m>1,0<n<1$,且$mn\ne1$,若$m^x-m^y<n^{-x}-n^{-y}$,则$x,y$的大小关系如何?
(2)已知$0<m<1,n>1$,且$mn\ne1$,若$m^x-m^y<n^{-x}-n^{-y}$,则$x,y$的大小关系如何?
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你不觉得两个问题其实是一个问题吗

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没反应……

(1)作置换 `n\to1/n`,条件就变成 `m`, `n>1`, `m\ne n`, `m^x-n^x<m^y-n^y`,问 `x`, `y` 的大小关系;
(2)作置换 `m\to1/m`,条件就变成 `m`, `n>1`, `m\ne n`, `m^{-x}-n^{-x}<m^{-y}-n^{-y}`,问 `x`, `y` 的大小关系;

所以两个问题是一个问题,也就是 `f(x)=m^x-n^x` 的单调性问题,而这一般都有增有减,所以 `x`, `y` 的大小关系不确定。

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回复 3# kuing
如果约定:x>0,y>0是不是能比较大小了?

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回复 4# lemondian

你自己不会证?

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回复 5# kuing
不会哩,求教!

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回复 6# lemondian

求导不就得了

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