免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[几何] 圆锥曲线,两个有6年历史的恐怖题目

1404091737aa0bb9f9b131a7fc.jpg
2020-7-5 00:13
14040917451d4ca5096c58157b.jpg
2020-7-5 00:13
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

图片来自网络(只有这一页) 这个引理看得懂但是仍然无法应用在这个问题上
不知道有没有人研究过这类问题
v2-690f0321a618b5fc54c4f5abf812b596_720w.jpg
2020-7-5 00:15

TOP

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-7-5 01:57 编辑

题至少有百年历史。这是彭赛列定理的对偶。所求的轨迹在给定的椭圆和圆的二次曲线系中(当然,这里"二次曲线系"是指有四条公切线的二次曲线系)
QQ图片20200703205126.jpg
2020-7-5 01:31

所以,轨迹方程形如$\frac{x^2}{a_0^2}+\frac{y^2}{b_0^2}=1$
其中$\begin{vmatrix}a_0^2&b_0^2&1\\a^2&b^2&1\\1&1&1\end{vmatrix}=0$
代入一个点就能确定系数

TOP

回复 3# hbghlyj
具体怎么说?还有2楼的那个引理派得上用场吗?

TOP

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-7-5 14:34 编辑

回复 4# amekui 抱歉刚才网卡没看到回复....
既然已知了曲线系,代入一个点就算出了啊......
第一题,图片中应该是把x,y弄反了,正确是\[\frac{x^2}{\left(\dfrac{a^2 b^2+a^2-b^2}{a^2 b^2-a^2-b^2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\dfrac{a^2 b^2-a^2+b^2}{a^2 b^2-a^2-b^2}\right)^2}=1\]
第二题,
\[\frac{x^2}{\left(\dfrac{a \left(a^4+b^2\left(a^2-1\right)  \left(a^2 b^2-2 a^2+3 b^2\right)\right)}{a^4-b^2\left(a^2-1\right)  \left(3 a^2 b^2-2 a^2+b^2\right)}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\dfrac{b \left(b^4+a^2 \left(b^2-1\right) \left(a^2 b^2+3 a^2-2 b^2\right)\right)}{b^4-a^2 \left(b^2-1\right) \left(3 a^2 b^2+a^2-2 b^2\right)}\right)^2}=1\]
可以验证它确实在四切线的曲线系里面:\[\left| \begin{array}{ccc} \left(\dfrac{a \left(a^4+\left(a^2-1\right) b^2 \left(b^2 a^2-2 a^2+3 b^2\right)\right)}{a^4-\left(a^2-1\right) b^2 \left(3 b^2 a^2-2 a^2+b^2\right)}\right)^2 & \left(\dfrac{b \left(b^4+a^2 \left(b^2-1\right) \left(b^2 a^2+3 a^2-2 b^2\right)\right)}{b^4-a^2 \left(b^2-1\right) \left(3 b^2 a^2+a^2-2 b^2\right)}\right)^2 & 1 \\ a^2 & b^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end{array}\right|=0\]

TOP

回复 5# hbghlyj
彭赛列的定理有耳闻。不过对您的这个解释不是很理解,能否提供一些相关的参考资料?
(另外,有无不暴力计算的解析方法?)

TOP

回复 6# amekui
①建议学习射影几何...
②为何曲线系不算解析方法....

TOP

回复 7# hbghlyj
您在确定轨迹的形状时使用了射影几何里的定理。
有无纯解析的方法?我对2楼中的引理如何应用在这个问题中很感兴趣。

TOP

回复 8# amekui
我对2楼中的引理如何应用在这个问题中很感兴趣。
amekui 发表于 2020-7-5 03:24

爆算呗……

交点在椭圆上,即
\[\frac13\left( \frac{1-t_1t_2}{1+t_1t_2} \right)^2+\frac12\left( \frac{t_1+t_2}{1+t_1t_2} \right)^2=1,\]去分母即
\[4-3t_1^2 + 10 t_1 t_2 - 3 t_2^2 + 4 t_1^2 t_2^2=0,\]同理对 `(t_2,t_3)` 和 `(t_3,t_4)` 有类似的式子,需要消掉 `t_2` 和 `t_3`,打开软件如 MMC(A),输入
  1. f[t1_, t2_] = 4 - 3 t1^2 + 10 t1 t2 - 3 t2^2 + 4 t1^2 t2^2
  2. Resultant[f[t1, t2], f[t2, t3], t2] // Factor
复制代码
结果为
-(t1 - t3)^2 (1200 - 49 t1^2 + 2402 t1 t3 - 49 t3^2 + 1200 t1^2 t3^2)
因为 `t_1\ne t_3`,即 `1200 - 49 t_1^2 + 2402 t_1 t_3 - 49 t_3^2 + 1200 t_1^2 t_3^2 =0`,再次 Resultant,输入
  1. Resultant[1200 - 49 t1^2 + 2402 t1 t3 - 49 t3^2 + 1200 t1^2 t3^2, f[t3, t4], t3] // Factor
复制代码
结果为
(4 - 3 t1^2 + 10 t1 t4 - 3 t4^2 + 4 t1^2 t4^2) (2896804 - 7216803 t1^2 + 15552970 t1 t4 - 7216803 t4^2 + 2896804 t1^2 t4^2)
因为最后一个交点不在椭圆上,所以前面的括号不为零,即
\[2896804 - 7216803 t_1^2 + 15552970 t_1 t_4 - 7216803 t_4^2 + 2896804 t_1^2 t_4^2=0,\]而最后交点的坐标
\[x=\frac{1-t_4t_1}{1+t_4t_1}, \, y=\frac{t_4+t_1}{1+t_4t_1},\]解得
\[t_1+t_4=\frac{2y}{x+1}, \, t_1t_4=\frac{1-x}{x+1},\]代入上面的式子中,最终得
\[6048242 x^2+7216803 y^2-8945046=0,\]这就是所求方程。

TOP

回复 9# kuing
在5#的公式中代入$a=\sqrt3,b=\sqrt2$,结果是一样的

TOP

回复 9# kuing
啊这 真是暴力

TOP

再顶一下吧 求一个清晰点的解释

TOP

回复 1# amekui
椭圆中内切圆动点轨迹问题(二)
原创 湖南长沙胡晓昊 昊天数学工作室 3月5日
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... 008df0bef325ad97128
4568711145941.jpg
2020-7-11 16:11

TOP

回复 13# 青青子衿
这仍然只是给出了一个答案啊

TOP

TOP

发现《命题人讲座 解析几何》第166页有彭赛列定理的微分法证明

TOP

TOP

hbghlyj 发表于 2021-4-27 21:21
链接没了

TOP

返回列表 回复 发帖