免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[不等式] SOP8——2n-1元不等式,与算术平均数之差的平方和

已知实数 $x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_{2n-1},$ 设 $A$ 为它们的算术平均数。求证:\[2\sum_{i=1}^{2n-1}(x_i-A)^2\geqslant \sum_{i=1}^{2n-1}(x_i-x_n)^2.\]
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

由于平移不影响条件及待证式,因此可以不妨设 `A=0`,此时不等式右边展开为
\[\sum_{i=1}^{2n-1}x_i^2+(2n-1)x_n^2,\]所以原不等式等价于
\[\sum_{i=1}^{2n-1}x_i^2\geqslant(2n-1)x_n^2,\]即
\[x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2+x_{n+1}^2+\cdots+x_{2n-1}^2\geqslant2(n-1)x_n^2,\]记
\begin{align*}
a&=\frac{x_1+\cdots+x_{n-1}}{n-1},\\
b&=\frac{x_{n+1}+\cdots+x_{2n-1}}{n-1},
\end{align*}由 CS 有
\begin{align*}
x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2&\geqslant(n-1)a^2,\\
x_{n+1}^2+\cdots+x_{2n-1}^2&\geqslant(n-1)b^2,
\end{align*}所以只需证
\[a^2+b^2\geqslant2x_n^2,\quad(*)\]由条件知 `a\leqslant x_n\leqslant b`,由 `A=0` 得
\[(n-1)(a+b)+x_n=0,\]令 `a=x_n-t`, `b=x_n+u`, `t`, `u\geqslant0`,代入上式解得
\[x_n=\frac{n-1}{2n-1}(t-u),\]而式 (*) 就变成
\[(x_n-t)^2+(x_n+u)^2\geqslant2x_n^2,\]即
\[t^2+u^2\geqslant2x_n(t-u)=\frac{2(n-1)}{2n-1}(t-u)^2,\]上式显然成立,即得证。

TOP

学习。先做记号,有时间慢慢消化。建议把你的解答发给王卫华老师与更多人分享。

TOP

返回列表 回复 发帖