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» SOP5——$f\big(f(x)\big)=\frac12(x^2-x)f(x)+2-x$
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发表于 2020-7-4 20:42
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[函数]
SOP5——$f\big(f(x)\big)=\frac12(x^2-x)f(x)+2-x$
函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 满足: 对任意 $x\in\mathbb{R},$ 均有\[ f\big(f(x)\big)=\cfrac 12(x^2-x)f(x)+2-x.\]求 $f(1)$ 的所有可能值。
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tommywong
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发表于 2020-7-11 12:42
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$\displaystyle f(f(x))=\frac{1}{2}(x^2-x)f(x)+2-x$
$f(f(1))=1$
$\displaystyle f(f(f(x)))=\frac{1}{2}f(x)(f(x)-1)f(f(x))+2-f(x)=f(\frac{1}{2}(x^2-x)f(x)+2-x)$
$\displaystyle \frac{1}{2}f(1)(f(1)-1)f(f(1))+2-f(1)=f(1)$
$[f(1)]^2-5f(1)+4=0$
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nttz
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发表于 2022-5-3 18:29
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2#
tommywong
这个步骤能不能详细点,都看不懂过程
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