[几何] 动点

如图，已知点P为边长等于4的正方形所在平面外的动点，|PA|=2，PA与平面ABCD所成角等于45°，则∠BPD的大小可能是（）
A.π/6 B.π/3 C.π/2 D.5π/6 (1).png

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kuing

2^#

发表于 2020-6-27 02:14 | 只看该作者

直接用代数计算具体范围算了，计算量也不大……

以 `A` 为原点建空间系使得 `B(4,0,0)`, `D(0,4,0)`，依题意可设 `P\bigl(x,y,\sqrt2\bigr)`，其中 `x^2+y^2=2`，那么
\begin{align*}
\cos\angle BPD&=\frac{\vv{BP}\cdot\vv{DP}}{BP\cdot DP}\\
&=\frac{(x-4)x+y(y-4)+2}{\sqrt{(x-4)^2+y^2+2}\cdot\sqrt{x^2+(y-4)^2+2}}\\
&=\frac{1-x-y}{\sqrt{(5-2x)(5-2y)}}\\
&=\frac{1-x-y}{\sqrt{25-10(x+y)+2(x+y)^2-2(x^2+y^2)}}\\
&=\frac{1-t}{\sqrt{21-10t+2t^2}},
\end{align*}其中 `t=x+y\in[-2,2]`，易知上式在此区间上递减，由此可得
\[\cos\angle BPD\in\left[ -\frac13,\frac37 \right].\]

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lrh2006