显然 `a<1`,令 `a=1/(1+x)`, `b=2/(1+y)`, `c=3/(1+z)`, `x`, `y`, `z>0`,代入条件中得 `xyz=1`,且
\[\frac{a^2}3+\frac{b^2}{12}+\frac{c^2}{27}=\frac13\left( \frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}+\frac1{(1+z)^2} \right),\]因为
\[\frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}-\frac1{1+xy}=\frac{(1-xy)^2+xy(x-y)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)},\]所以有
\begin{align*}
\frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}&\geqslant\frac1{1+xy},\\
\frac1{(1+z)^2}+\frac14&\geqslant\frac1{1+z},
\end{align*}相加得
\[\frac1{(1+x)^2}+\frac1{(1+y)^2}+\frac1{(1+z)^2}\geqslant\frac1{1+xy}+\frac1{1+z}-\frac14=\frac34,\]所以原式 `\geqslant1/4`,当 `x=y=z=1` 即 `a=1/2`, `b=1`, `c=3/2` 时取等。 |