还是把 6# 的证明给贴了吧……
命题:若 `\triangle ABC` 为锐角三角形,则 `a\cos C+c\cos B>a\sin A`。
首先化角,等价于证
\[\sin A\cos C+\sin C\cos B>\sin^2A,\]令 `D=\pi-2A`, `E=\pi-2B`, `F=\pi-2C`,由 `\triangle ABC` 是锐角三角形知 `D`, `E`, `F\in(0,\pi)`, `D+E+F=\pi`,所以等价于证:任意 `\triangle DEF` 中恒有
\[\cos\frac D2\sin\frac F2+\cos\frac F2\sin\frac E2>\cos^2\frac D2,\]对 `\triangle DEF` 作内切圆代换(即 `DE=x+y` 等),则
\begin{align*}
\cos\frac D2\sin\frac F2
&=\sqrt{\frac{x(x+y+z)}{(z+x)(x+y)}}\sqrt{\frac{xy}{(y+z)(z+x)}}\\
&=\frac{x\sqrt{y(x+y+z)(x+y)(y+z)}}{(x+y)(y+z)(z+x)}\\
&>\frac{xy(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)},
\end{align*}同理有
\[\cos\frac F2\sin\frac E2>\frac{zx(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)},\]相加即得
\[\cos\frac D2\sin\frac F2+\cos\frac F2\sin\frac E2>\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(z+x)}=\cos^2\frac D2,\]即得证。 |