[函数] 求一个四次函数的最小值

language110

求函数$f(x)=x^4-2x^3+2x^2-x+1$的最小值.

kuing

求导后观察发现 x=1/2 是根

地狱的死灵

直接配方：$y=x^2-x=(x-\frac12)^2-\frac14 \ge  -\frac14$
$\begin{array}{l}
f(x) = (x^4  - 2x^3  + x^2 ) + (x^2  - x) + 1 \\
  = (x^2  - x)^2  + (x^2  - x) + 1 \\
  = (y + \frac12)^2  + \frac34 \\
  \ge \frac{13}{16} \\
\end{array}$

kuing

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不错，不过最后一个数错了……

地狱的死灵

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     嗯，改了……

kuing

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all right now

其妙

根据二项式定理，${(x - \dfrac{1}{2})^4} = {x^4} + C_4^1{x^3}( - \dfrac{1}{2}) + C_4^2{x^2}{( - \dfrac{1}{2})^2} + C_4^3x{( - \dfrac{1}{2})^3} + {( - \dfrac{1}{2})^4} = {x^4} - 2{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{{16}}$
\[\begin{array}{l}
f(x) = {x^4} - 2{x^3} + 2{x^2} - x + 1 = ({x^4} - 2{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}) + (\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x) + \frac{{15}}{{16}}\\
= {(x - \frac{1}{2})^4} + (\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x) + \frac{{15}}{{16}} \geqslant \frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{{15}}{{16}} = \frac{1}{2}{(x - \frac{1}{2})^2} + \frac{{13}}{{16}} \geqslant \frac{{13}}{{16}}
\end{array}\]
当且仅当$x=\dfrac12$ 时，$f(x)$有最小值$\dfrac{13}{16}$ 。