[几何] 椭圆切线交点求轨迹

ellipse

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2020-6-16 23:39

P是椭圆上的动点,焦点$F_1,F_2$在P处的切线上的投影是$H_1,H_2,F_1H_2$交$ F_2H_1$于I,I关于P的对称点为I',求I,I'的轨迹

kuing

如图，作 `F_1`, `F_2` 关于切线的对称点 `F_1'`, `F_2'`，由光学性质知 `P` 就是 `F_1F_2'` 与 `F_1'F_2` 的交点，可见 `IP` 也垂直于切线，延长 `PI` 交 `F_1F_2` 于 `Q`，易知 `I` 为 `PQ` 的中点，设 `P(a\cos\theta,b\sin\theta)`，记 `Q` 的横坐标为 `q`，则 \[ \frac{q+c}{c-q}=\frac{QF_1}{QF_2}=\frac{PF_1}{PF_2}=\frac{a+c\cos\theta}{a-c\cos\theta}\riff q=\frac{c^2}a\cos\theta, \]于是 `I` 的横纵坐标分别为 \begin{align*} x_I&=\frac12\left( a\cos\theta+\frac{c^2}a\cos\theta \right)=\frac{(a^2+c^2)\cos\theta}{2a},\\ y_I&=\frac12b\sin\theta, \end{align*}所以 `I` 的轨迹就是 \[\left( \frac{2ax}{a^2+c^2} \right)^2+\left( \frac{2y}b \right)^2=1,\]类似地可得对称点 `I'` 的轨迹是 \[\left( \frac{2ax}{3a^2-c^2} \right)^2+\left( \frac{2y}{3b} \right)^2=1.\]

hbghlyj

我在全论坛搜“svg”,有这个帖子,但帖子内容中并无这三个字母,是怎么回事呢

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2021-6-1 19:09

isee

回复 3# hbghlyj


    你这楼已经有了，我们无法重现

爪机专用

回复 3# hbghlyj

因为我在2#贴的图是svg图

kuing

2# 图的代码如下：

1. <svg width="91.13mm" height="115.39mm" viewBox="0 0 91.13 115.39" version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
   
2. <g transform="translate(38.72,-24.13)">
   
3.   <g transform="matrix(.21 0 0 .21 -39.61 23.03)">
   
4.    <g fill="none" stroke="#000" stroke-width="1.2px">
   
5.     <ellipse cx="199.89" cy="396.89" rx="195" ry="142.5"/>
   
6.     <path d="m333.38 396.89h-266.98"/>
   
7.     <path d="m367.82 296.92-301.42 99.97"/>
   
8.     <path d="m333.38 396.89-204.24-182.17"/>
   
9.     <path d="m402.23 196.92-335.84 199.96"/>
   
10.     <path d="m333.38 396.89-141.53-364.34"/>
    
11.     <path d="m333.38 396.89 68.85-199.96"/>
    
12.     <path d="m66.39 396.89 125.45-364.34"/>
    
13.     <path d="m238.78 396.89 44.43-129.11"/>
    
14.     <path d="m367.82 296.92-238.68-82.19"/>
    
15.    </g>
    
16.    <g font-family="'Times New Roman'" font-weight="700">
    
17.     <g font-style="italic" font-size="24px">
    
18.      <text transform="translate(227.34,401.89)"><tspan x="0" y="21.38">Q</tspan></text>
    
19.      <text transform="translate(180.47,2)"><tspan x="0" y="21.38">F</tspan></text>
    
20.      <text transform="translate(204.14,2)"><tspan x="0" y="21.38">'</tspan></text>
    
21.      <text transform="translate(395.33,164)"><tspan x="0" y="21.38">F</tspan></text>
    
22.      <text transform="translate(419.01,164)"><tspan x="0" y="21.38">'</tspan></text>
    
23.      <text transform="translate(254.38,298.86)"><tspan x="0" y="21.38">I</tspan></text>
    
24.      <text transform="translate(375.34,290.86)"><tspan x="0" y="21.38">H</tspan></text>
    
25.      <text transform="translate(94.39,200.94)"><tspan x="0" y="21.38">H</tspan></text>
    
26.      <text transform="translate(52.47,401.89)"><tspan x="0" y="21.38">F</tspan></text>
    
27.      <text transform="translate(324.46,401.89)"><tspan x="0" y="21.38">F</tspan></text>
    
28.      <text transform="translate(284.46,234.86)"><tspan x="0" y="21.38">P</tspan></text>
    
29.     </g>
    
30.     <g font-size="15.37px">
    
31.      <text transform="translate(196.46,12.87)"><tspan x="0" y="13.70">1</tspan></text>
    
32.      <text transform="translate(411.33,174.87)"><tspan x="0" y="13.70">2</tspan></text>
    
33.      <text transform="translate(394.05,301.74)"><tspan x="0" y="13.70">2</tspan></text>
    
34.      <text transform="translate(113.11,211.82)"><tspan x="0" y="13.70">1</tspan></text>
    
35.      <text transform="translate(68.47,412.77)"><tspan x="0" y="13.70">1</tspan></text>
    
36.      <text transform="translate(340.46,412.77)"><tspan x="0" y="13.70">2</tspan></text>
    
37.     </g>
    
38.    </g>
    
39.   </g>
    
40. </g>
    
41. </svg>

复制代码

这是在几何画板里画完，好像是另存为 emf 后再转 SVG，再经手工优化后的代码。

在电脑浏览器上的话，右键检查或者查看网页源码，也可以看到。图上那些字母也是可以选择的。

kuing

回复  hbghlyj

你这楼已经有了，我们无法重现
isee 发表于 2021-6-1 19:57

你现在可以重现一下，全文搜 svg 能搜到你最近的其中两帖，我这两天闲来无事回帖时复习了一下 SVG 的简单语法，画了几个图。

isee

回复 7# kuing


    我擦，直接在线（在网页中显示）作图，是这意思吧。