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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 与抛物线弦有关的距离最小值
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lemondian
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发表于 2020-6-15 08:45
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只看该作者
[几何]
与抛物线弦有关的距离最小值
过点$P(0,1)$作一直线$l$,$l$与抛物线$y=x^2$交于$A,B$两不同点,过点$A,B$分别作抛物线$A,B$的切线,两切线交于点$Q$。求点$Q$到直线$AB$的距离的最小值。
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发表于 2020-6-15 13:49
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只看该作者
Q在P的极线y=-1上,可设Q(m,-1),则AB: y=2mx+1,然后代点到直线距离公式即可
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lemondian
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发表于 2020-6-15 14:26
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色k
易得$d=\dfrac{2m^2+2}{\sqrt{4m^2+1}}$,往下如何求最值呢?
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色k
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发表于 2020-6-15 14:36
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只看该作者
分子拆一下均值不就好了,基本功啊
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lemondian
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发表于 2020-6-15 14:45
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色k
哦,谢谢!我想偏了,用导数,难算了
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kuing
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发表于 2020-6-15 17:19
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只看该作者
也可以不用点到直线距离公式……
S
R
H
A
B
P
Q
如图,过 `Q` 作 `AB` 的垂线,垂足为 `H`,`QH` 及 `y=-1` 交 `y` 轴于 `R`, `S`。
沿用 2# 的东西,不妨设 `m>0`,由 `k_{AB}=2m` 得 `SQ:SR=2m`,可见 `SR=1/2`, `RP=3/2`,于是 `RH\cdot RQ=RS\cdot RP=3/4`,所以 `QH=RH+RQ\geqslant2\sqrt{RH\cdot RQ}=\sqrt3`,当 `RH=RQ` 时取等。
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敬畏数学
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发表于 2020-6-16 10:29
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6#
kuing
几何简单一点。硬翻译一把也简单。
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