[数论] 多项式问题

hbghlyj

$a_1,a_2,\cdots,a_n$是整系数首一多项式f(x)的n个根，且满足$|a_i|<1(i=1,2,\cdots,n-1),a_1a_2\cdots a_n\ne0$，求证：若$a_i^2＝a_j·a_k$，则i＝j＝k.
三次多项式的情形：
$s_i$是初等对称多项式，$s_i\in\mathbf Z$，$\left(a_1^2-a_2 a_3\right) \left(a_2^2-a_3 a_1\right) \left(a_3^2-a_1 a_2\right)=-s_2^3+s_1^3s_3=0$，所以$s_3=s^3,s\in\mathbf Z,s_2=-s\cdot s_1$