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[组合] 请教分油问题的不定方程解释

本帖最后由 abababa 于 2020-6-13 10:05 编辑

问题:有三个无刻度容器,依次记为$m_1,m_2,m_3$,容积分别是$8,5,3$升,初始时$m_1$装满,另两个是空的。仅用这三个容器,将$8$升平分为两个$4$升。

这个不定方程是$5x+3y=4$,然后求解,可以解出绝对值之和最小的那个是$x=2,y=-2$,然后就说$x=2$表示增加$5$升的操作$2$次,$y=-2$表示减少$3$升的操作$2$次。

对这个解释我有些疑问,比如现在$m_1,m_2,m_3$分别装了$3,2,3$升(这个情况是先用$m_1$倒满$m_2$,再用$m_2$倒满$m_3$),然后在这个情况下,可以把$m_2$倒回$m_1$里,这是允许的操作(操作了$2$升),但这个操作用方程怎么解释呢?

另外最少操作次数是$2(\abs{x}+\abs{y})-1$,这个我是通过几种不同的数据来归纳出来的,怎么证明它呢?
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