本帖最后由 isee 于 2020-6-11 15:35 编辑
解:
(1)$x=\pi/3$,过程略。
(2)这事实上是三角函数的单调性,这样混在一起,我还是第一次见。
$f(x)=\mathrm e^{ax-1}\cdot \cos x$,则,
$$f'(x)=\mathrm e^{ax-1}(a\cos x-\sin x)=0\Rightarrow \tan x=a>0.$$
$a>0$,而区间$\left(0,\frac a{\sqrt{a^2+1}}\right)\subseteq (0,1)\subseteq (0,\pi/2)$。
于是有且只有$x_0\in (0,1)$使得$f'(x_0)=0$成立,容易知道此时$f(x)$在$(0,x_0)$是单调递增的。
所以结论成立,因为此时$$\frac a{\sqrt{a^2+1}}=\sin x_0<x_0.$$
(3)不想写,进一步讨论此时的最大值,与所给数据之间的关系,免不了讨论。 |