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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一个函数不等式证明:$e^x-x^2-2x$问题
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发表于 2020-6-8 21:50
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只看该作者
[不等式]
一个函数不等式证明:$e^x-x^2-2x$问题
证明:$e^x-x^2-2x\geqslant 6-e^2(0\leqslant x\leqslant 2)$
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kuing
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发表于 2020-6-9 01:44
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只看该作者
没啥意思……随便证证……
由 `e^x\ge ex` 得 `e^{x/2}\ge ex/2`,当 `x` 非负时,可两边平方,得到 `e^x\ge e^2x^2/4`,于是只需证 `e^2x^2/4-x^2-2x-6+e^2>0`,易得 `\Delta=-e^4+10e^2-20`,由 `e>2.7` 可知为负,即得证。
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isee
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发表于 2020-6-9 01:55
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kuing
厉害厉害,这个放缩不用到4次,直接完事儿
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发表于 2020-6-9 07:41
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本帖最后由 力工 于 2020-6-9 07:44 编辑
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kuing
神,我画图了,知道这个不等式不紧,但证起来却很繁,所以向大神们求出手一助.
比如还有:$e^x-x^2-x≤e^2-6$,$x$的范围也是$[0,2]$,这个不等式稍好搞一点。
谢谢!
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敬畏数学
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发表于 2020-6-9 17:08
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$ f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+2x+6-e^2} \geqslant 1$,显然在定义域为减函数。细节分母为零的地方讨论一下。
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力工
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发表于 2020-6-9 18:47
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敬畏数学
这做法也麻烦啊。首先要分正负,才对。
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